Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной

Производная функции одной переменной. Дифференцируемость

1. Производная функции в точке. Определение односторонних производных. Дифференцирование. Нахождение производных функций y =С, y = sin ( x ), y = cos ( x ), y = a^x _, y = xⁿ ,  Производные на концах промежутка.

2. Определение функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. Критерий дифференцируемости (теорема с доказательством).

3. Непрерывность дифференцируемой функции (с доказательством).

4. Геометрический смысл производной.

5. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций. Вычисление производных от y = tg ( x ) и y = ctg ( x ).

6. Теорема о производной обратной функции (с доказательством). Производная логарифмической функции. Производные обратных тригонометрических функций.

7. Дифференцирование композиции функций (с доказательством). Производная общей степенной функции.

8. Дифференцирование композиции функций (с доказательством). Производная показательно-степенного выражения.

9. Производные высших порядков. Основные формулы производных высших порядков элементарных функций (с выводом).

10. Производные высших порядков суммы и произведения. Формула Лейбница (с доказательством).

11. Производные от сложных функций, от обратных функций, от функций, заданных параметрически, от неявных функций.

Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной

12. Теорема Ферма (с доказательством).

13. Теорема Ролля (с доказательством).

14. Теорема Лагранжа и следствия из нее (с доказательством).

15. Теорема Коши (с доказательством).

16. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора. Лемма об остаточном члене формулы Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано (теорема с доказательством).

17. Разложение элементарных функций у = sin(x), y = cos(x), y = (1 + x)^m,y = ln(l + x), y = e^x по формуле Тейлора в окрестности нуля (с выводом)

18. Раскрытие неопределенности  по правилу Лопиталя  (теорема с доказательством и следствия из нее).

19. Раскрытие неопределенности  по правилу Лопиталя  (теорема с доказательством и следствия из нее). Раскрытие других неопределенностей по правилу Лопиталя.

20. Необходимое и достаточное условие монотонности дифференцируемой функции (теорема с доказательством). Локальные экстремумы функции. Теорема о необходимом условии экстремума.

21. Критические и стационарные точки функции. Теорема о достаточных условиях существования локальных экстремумов функции в терминах смены знака производной функции (с доказательством).

22. Точки возрастания (убывания) функции. Достаточное условие локального экстремума функции, имеющей производные высших порядков (теорема с доказательством). Следствие.

23. Определение выпуклой вверх и выпуклой вниз функции. Геометрическая иллюстрация выпуклости функции. Строго выпуклая функция. Теорема о необходимом и достаточном условии выпуклости дифференцируемой функции (с доказательством).

24. Теорема о необходимом и достаточном условии выпуклости дифференцируемой на промежутке функции, дважды дифференцируемой внутри промежутка (с доказательством). Точки перегиба. Необходимое условие наличия точек перегиба (с доказательством). Достаточные условия наличия точек перегиба (с доказательством).

25. Асимптоты графика функции. Построение графиков функций, заданных явно, на примере

26. Построение графиков функций, заданных параметрически, на примере .

27. Предельная точка множества. Замкнутое множество. Граница множества. Равномерная непрерывность (определение). Теорема Кантора.

28. Равномерная непрерывность (определение). Условие равномерной непрерывности дифференцируемой функции.