Определение эмпирической плотности вероятностей

Введение

 

В практических наблюдениях мы обычно имеем совокупность наблюдений х1, х2, ... , хn, на основе которых требуется сделать те или иные выводы. Часто этих наблюдений много, поэтому возникает задача их компактного описания. В идеале таким описанием могло бы быть утверждение, что х1, х2, ... , хn являются выборкой, т.е. независимыми реализациями случайной величины x с известным законом распределения F(x). Это позволило бы теоретически произвести расчеты всех необходимых исследователю характеристик наблюдаемого явления.

Однако далеко не всегда мы можем утверждать, что х1, х2, ... , хn являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Во-первых, это необходимо проверить, а во-вторых, часто заведомо известно, что это не так. Поэтому для компактного описания совокупности наблюдений используют другие методы – методы описательной статистики.

Методы описательной статистики

Методами описательной статистики называются методы описания выборок х1, х2, ... , хn с помощью различных показателей и графиков. Достоинство методов описательной статистики в том, что ее простые и довольно информативные статистические показатели избавляют от необходимости просмотра большого количества значений выборки.

Показатели описательной статистики

Показатели, описывающие выборку можно разбить на несколько групп:

1. Показатели положения описывают положение данных (или середины совокупности) на числовой оси:

- Минимальный и максимальный элементы выборки

- Выборочные верхний и нижний квартили

- Среднее

- Выборочная медиана

- Выборочная мода

2. Показатели разброса описывают степень разброса данных относительно своего центра (насколько кучно основная масса данных группируется около середины совокупности)

- Дисперсия выборки

- Выборочное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)

- Размах

- Коэффициент эксцесса

3. Показатели асимметрии описывают симметричность распределения данных около своего центра

- Коэффициент асимметрии

- Положение выборочной медианы относительно выборочного среднего и относительно выборочных квартилей

- Гистограмма

4. Показатели, описывающие закон распределения, дают представление о законе распределения данных

- Гистограмма

- Выборочная функция распределения

- Таблица частот

Из перечисленных выше характеристик на практике по традиции чаще всего используют выборочные среднее, медиану и дисперсию (или стандартное отклонение). Однако для получения более точных и достоверных выводов необходимо использовать и другие показатели.

Особое внимание следует обратить на наличие в выборке выбросов – грубых, сильно отличающихся от основной массы, наблюдений. Большинство традиционных статистических методов весьма чувствительны к отклонениям от условий применимости метода. Поэтому выбросы могут не только исказить значение выборочных показателей, но и привести к ошибочным выводам. Подозрение о присутствии таких наблюдений должно возникнуть, если выборочная медиана сильно отличается от выборочного среднего, хотя в целом совокупность симметрична, или, если положение медианы сильно несимметрично относительно минимального и максимального элементов выборки. Проще всего обнаружить выбросы с помощью перехода от выборки к вариационному ряду или гистограмме с большим числом интервалов группировки.

Порядок выполнения работы

Исходные данные

 

Исходными данными является набор реализаций случайной величины (например, значения какой-либо величины, полученные при измерении). Размер выборки - n шт. Исходные данные оформить в виде таблицы (таблица 1).

 

Таблица 1 – Исходные данные

Номер реализации	Значение	Номер реализации	Значение	Номер реализации	Значение	Номер реализации	Значение
1...						...n

Построение вариационного ряда

 

Для удобства работы с данными выборку преобразуют в вариационный ряд – ряд, в котором элементы выборки упорядочиваются по возрастанию.

Этапы выполнения:

1. Найти наименьший элемент ряда Xmin

2. Найти наибольший элемент ряда Xmax

3. Записать ряд, начиная с наименьшего элемента Xmin и заканчивая наибольшим Xmax (таблица 2)

4. Для упрощения процедуры обработки и с целью уменьшения ошибок при вычислениях необходимо вычесть из каждого элемента ряда постоянное число (например, округленное Xmin) и использовать в расчетах не сами размеры, а их отклонениями. Получившиеся отклонения записать в таблицу 2.

Таблица 2 – Вариационный ряд с отклонениями относительно x0 = <значение>[1]

Номер элемента	Элемент	Отклонение	Номер элемента	Элемент	Отклонение
1...			n

Группировка данных

 

Этапы выполнения:

1. Разбить весь диапазон R = Xmax – Xmin на r интервалов. Число интервалов r устанавливают в зависимости от числа наблюдений n:

 

n	r
40-100 100-500 5000-10000	7-9 8-12 10-16

 

При небольших выборках .

2. Назначить длину интервалов. Длину интервалов Dx чаще всего выбирают одинаковой: Dx = R/r. Ее округляют до значения, удобного для графического отображения.

3. Назначить нижнюю границу xн первого интервала (в отклонениях от x0). Она должна быть меньше xmin и удобной с позиции графического отображения. Результат занести в таблицу 3.

4. Назначить нижние xн и верхние xв границы всех оставшихся интервалов (в отклонениях от x0). Результаты занести в таблицу 3.

5. Определить число размеров, попадающих в интервал mi. Условие попадания размера xj в интервал xiн < xj £ xiв. Результаты занести в таблицу 3. Полученные результаты проверить по условию .

Определение частостей

 

Отношение частоты mi к общему числу наблюдений n называется частостью:

 

 

Частость представляет собой эмпирическую оценку вероятности попадания результатов наблюдений Хj в i интервал.

Определить частости и результаты занести в таблицу 3.

Полученные результаты проверить по условию .

Определение эмпирической плотности вероятностей

 

Эмпирическая плотность вероятностей равна:

 

 

Определить эмпирическую плотность вероятности, результаты занести в таблицу 3.

 

Таблица 3 – Расчетные данные

Номера интервалов	Границы интервалов, <размерность>		Частота, mi	Частость,	Эмпирическая плотность вероятности pi	Середина интервала xi
	xн	xв
1...

Для дальнейших геометрических построений необходимы значения середины интервалов xi. Определить их, результаты занести в таблицу 3.

Построение полигона

 

Этапы выполнения[2]:

1. Определить масштабы по осям абсцисс и ординат, исходя их соотношения :R = 5 » 8.

2. На оси абсцисс отложить интервалы значений измеряемой величины.

3. В серединах интервалов отметить ординаты, пропорциональные частостям.

4. Полученные точки соединить прямыми линиями.

Пример полигона приведен на рисунке 1.

 

Рисунок 1 – Пример полигона