Динамические характеристики элементарных звеньев

План

1. Передаточная функция

1.1 Основные понятия

1.2 Преобразование Лапласа

1.3 Переход от дифференциального уравнения к передаточной функции и обратно.

 

2. Динамические характеристики элементарных звеньев.

 

3. Определение передаточной функции системы по передаточным функциям элементов (звеньев) (последовательное соединение, параллельное соединение, соединение с обратной связью).

 

Передаточная функция

1.1 Основные понятия

 

В качестве динамических характеристик при анализе и синтезе САУ широко используется передаточная функция, которая при решении ряда задач удобнее, чем дифференциальное уравнение. Передаточные функции применяются, когда надо по динамическим характеристикам звеньев определить динамические характеристики всей системы, исследовать устойчивость.

 

Передаточная функция  – отношение выходного сигнала  к входному , преобразованных по Лапласу

                          ,

здесь  – параметр преобразования Лапласа.

Передаточная функция полностью характеризует динамические свойства системы. Зная , можно определить переходный процесс на выходе системы.

Переход из одного класса функций в другой позволяет вместо дифференциальных уравнений оперировать алгебраическими.

 

                

 

1.2. Преобразование Лапласа

Для определения передаточной функции используется преобразование Лапласа, которое определяется соотношением

,

здесь  - функция времени (оригинал),  - функция параметра  (изображение по Лапласу).

Иногда используют обозначения

,

здесь  - оператор преобразования Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа:

.

 

Пример :           

 

Для взятия преобразования Лапласа будем использовать таблицу преобразований Лапласа.

 

Таблица преобразований Лапласа

– функция времени (оригинал)	- изображение по Лапласу
	1
	при нулевых нач. усл.
	при нулевых нач. усл.
- константа

 

 

Например: функция времени равна , тогда изображение по Лапласу будет равно  при нулевых начальных условиях. 

 

 

1. 3 Переход от дифференциального уравнения

к передаточной функции и обратно

 

Пример 1. Дано дифференциальное уравнение:

                                 

Получить передаточную функцию.

.

Пример 2. Дано дифференциальное уравнение:

Получить передаточную функцию. 

.

Правило: если задано дифференциальное уравнение, то чтобы получить передаточную функцию нужно: 1) производную  заменить на параметр преобразования Лапласа , т.е. взять преобразование Лапласа от дифференциального уравнения; 2) записать отношение преобразования Лапласа выхода  ко входу , т.е. получить .

Пример 3. Задана передаточная функция:

Получить дифференциальное уравнение.

 

: .

 

Правило: если задана передаточная функция, то чтобы получить дифференциальное уравнение нужно: 1) записать отношение преобразования Лапласа выхода  ко входу ; 2) перейти от равенства дробей к уравнению; 3) взять обратное преобразование Лапласа, т.е. параметр преобразования Лапласа  заменить на производную . 

 

 

Динамические характеристики элементарных звеньев

Заполняем таблицу

 

3. Определение передаточной функции системы

  по передаточным функциям элементов (звеньев)

 

последовательное соединение:

 

 

 

;

Пример. Заданы передаточные функции элементов:

; .

Найти передаточную функцию системы и перейти к дифференциальному уравнению.

.

Переход к дифференциальному уравнению:

,

,

,

.

 

 

параллельное соединение:

 

 

                                                                

 

 

;

 

 

схемы с обратной связью :    

                                        

 

;

 

 

;

 

 

 

 

 

 

Пример                                                                     

 

 

Заданы передаточные функции звеньев.

Получить передаточную функцию системы и перейти к дифференциальному уравнению.

А:

И:        

             .

Переход к дифференциальному уравнению:

.