Теория вероятностей и математической статистики

Вопросы к экзамену по математике за 4-ый семестр для студентов Э-17        

                      Лектор   Л.В.Бельгарт

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа

1. Определения оригинала и изображения.

2. Основные свойства преобразования Лапласа.

3. Изображения основных элементарных функций.

4. Восстановление оригинала по его изображению. Формула обращения.

5. Применение операционного исчисления к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

6. Определение свёртки двух функций. Теорема о свёртке двух функций.

7. Формула Дюамеля.

Теория вероятностей и математической статистики

1. Предмет и задачи теории вероятности.

2. Случайные события, их классификация.

3. Классическое и статистическое определение вероятности. Примеры.

4. Геометрическое определение вероятности. Пример.

5. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки.

6. Действия над событиями. Сумма и произведение событий, противоположное событие. Основные свойства операций над событиями.

7. Теоремы сложения для совместных и несовместных событий.

8. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. 

9. Вероятность противоположного события. Примеры.

10. Формула полной вероятности. Формула Байеса (вывод).

11. Схема с повторением независимых испытаний (схема Бернулли). Наивероятнейшее число появления события в  п  независимых испытаниях.

12. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа, формула Пуассона.

13. Дискретная случайная величина и её закон распределения. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

14.  Непрерывная случайная величина. Функция распределения, плотность вероятности и их свойства.

15. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

16. Биномиальный закон распределения. Числовые характеристики. Примеры.

17. Закон распределения Пуассона. Числовые характеристики. Примеры.

18. Равномерный закон распределения. Числовые характеристики. Функция распределения. Примеры.

19. Показательный закон распределения. Числовые характеристики. Функция распределения. Примеры.

20. Нормальный закон распределения. Свойства. Правило трех сигм. Примеры.

21. Центральная предельная теорема.

22. Предмет математической статистики.

23. Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд. Гистограмма относительных частот.

28. Выборочные оценки параметров случайной величины. Основные требования к оценкам.

29. Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии. Исправленная дисперсия.

30. Понятия о квантилях. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

31. Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины по данным опыта.

Дополнительные вопросы.

Определения:

1) случайного события,   

2) достоверного и невозможного событий,

3) числа сочетаний из   по ,          

4) числа размещений из    по ,

5) числа перестановок из ,               

 6) классической вероятности,

7) статистической вероятности,           

8) геометрической вероятности,

9) совместных и несовместных событий,      

10) зависимых и независимых событий,

11) полной группы событий,                

12) случайной величины,

13) математического ожидания (что характеризует),          

14) дисперсии и СКО (что характеризуют),

Формулы: 1) Бернулли,                                  

2) вероятности суммы событий,                            

3) вероятности произведения событий,                

4) вероятности противоположного события,       

5) полной вероятности,

6) Байеса,

Свойства: 1) функции Гаусса ,

            2) функции Лапласа ,

            3) математического ожидания,

            4) дисперсии.

Теорема о свёртке двух функций.