Часть 1. Применение основных теорем динамики механической системы

Аннотация

 

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых растяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления  и возмущающая гармоническая сила . Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определен закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведен численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

 

Исходные данные:

	m = 1 кг
	r = 0.1 м	с = 4000 H/м

 

Часть 1. Применение основных теорем динамики механической системы

1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы.

 

Расчетная схема представлена на рисунке 1.

Здесь обозначено:

; ;  - силы тяжести;

 

 - нормальная реакция опорной плоскости;

 - сила сцепления;

 - упругая реакция пружины;

 - реакция подшипников;

 - сила вязкого сопротивления;

- возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка (3) происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза (1).

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

 

 

 - сумма мощностей внешних сил;

 - сумма мощностей внутренних сил;

Тогда кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел,

 

(1.2)

(1.3) Груз (1) совершает поступательное движение, ;

(1.4) Блок (2) совершает вращательное движение, , где

(1.5) Каток (3) совершает плоскопараллельное движение, , где

 

Кинетическая энергия всего механизма равна:

 

(1.6) ;

 

Выразим – через скорость груза (1)

 

(1.7) ; ;

 

Подставляя кинематические соотношения (1.7) в выражение (1.6), получаем:

(1.8)

(1.9)

;

 

Найдем производную от кинетической энергии по времени:

 

(1.10)

 

Вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил. Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость в точке ее приложения;

 

(1.11)

 

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

 

(1.12) = 0;

 

Будут равняться нулю и мощности следующих внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю:

 

Сумма мощностей остальных внешних сил:

 

(1.13)

 

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил определим:

 

(1.14)

 

где приведенная сила.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины, которое равно сумме статического и динамического  удлинений:

 

(1.15)

 

Сила вязкого сопротивления , тогда

 

(1.16)

 

В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.16) S=0, =0 и F(t)=0, получаем условие равновесия системы:

 

(1.17)

 

Отсюда статическое удлинение пружины равно:

(1.18)

 

Подставляя (1.18) в (1.16), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

 

(1.19)

 

Подставив выражения для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1.19) в (1.1), получаем дифференциальное уравнение движения системы:

 

(1.20)

(1.21)

 

где k циклическая частота свободных колебаний;

 

 

n – показатель степени затухания колебаний;