Максвелловское распределение молекул по скоростям

Для газа, находящегося в замкнутом сосуде, результатом многочисленных столкновений молекул между собой и со стенками сосуда, является достаточно быстрое установление универсального распределения молекул по скоростям, которое было теоретически получено Максвеллом в 1860. На уровне макроскопического описания газа максвелловскому распределению молекул по скоростям соответствует состояние теплового равновесия в газе: давление и температура во всех местах внутри сосуда оказываются одинаковыми.

Молекулы газа даже в равновесии движутся беспорядочно, сталкиваясь между собой и со стенкой сосуда, беспрерывно меняя свою скорость. Это означает, что в каждый момент времени в газе есть молекулы, которые имеют самые различные скорости. Вместе с тем, поскольку давление и температура в газе остаются постоянными, то, как бы не менялась скорость молекул, среднее значение ее квадрата остается постоянным. Это оказывается возможным лишь при наличии неизменного во времени и одинакового во всех частях сосуда распределения молекул по скоростям.

Максвелловское распределение по скоростям можно вывести несколькими различными способами. Вид его может быть, в частности, установлен на основе простых соображений, основанных на применении так называемого принципа детального равновесия. Нужно однако предварительно отметить, что утверждение типа: "Такое-то число молекул в газе имеет скорость, например, 100 м/с" – не имеет конкретного смысла. Нельзя точно указать скорость какой-либо группы молекул, но можно говорить о среднем числе молекул, скорости которых находятся в некотором малом интервале скоростей dv между значениями v и v + dv. Число (доля) этих молекул – dn(v) = nf(v)dv, где n – число молекул в единице объема. Следует напомнить, что скорость v является вектором, поэтому функция распределения f(v), имеющая смысл функции вероятности, характеризует распределение молекул как по абсолютным значениям (модулям) скоростей, так и по их направлениям. В декартовой системе координат с осями x, y, z это соответствует представлению интервала скоростей в виде dv = dvx * dvy * dvz. Если интересоваться распределением только по модулям скорости, то в сферической системе координат

dn(v) = 4p nn2f(v)dv(2.4)

Для вывода максвелловского распределения рассматриваются две группы молекул, скорости которых лежат в интервалах dv и dvi.В результате столкновений молекул первой и второй групп скорости v и vi сталкивающихся молекул изменяются и переходят в v’ и vi соответственно. Среднее число таких столкновений, называемых прямыми столкновениями, будет пропорционально dndn1 или

Соответствующие им обратные столкновения переводят молекулы из интервалов dv’ и dvi в dv и dv1 . Среднее число обратных столкновений пропорционально

(2.5)

Принцип детального равновесия состоит в том, что в состоянии хаотического движения, соответствующего тепловому равновесию, скорости прямого и обратного процессов должны быть одинаковы. В данном случае это соответствует выполнению условия

(2.6)

Можно показать, что произведения элементов объема в пространстве скоростей для прямых и обратных столкновений равны. Поэтому написанное выше условие переходит в соотношение

(2.7)

Логарифмирование этого соотношения дает

(2.8)

Полученное равенство означает, что натуральные логарифмы функции распределения являются так называемыми аддитивными инвариантами. Они могут быть выражены через линейную комбинацию величин, которые сохраняются в парных столкновениях частиц, а именно массы, импульса и кинетической энергии частиц.

(2.9)

Константы a, и c можно определить через известные макроскопические параметры газа – плотность n, скорость v0 и температуру T. Тогда в покоящемся газе (v0 = 0) максвелловское распределение по скоростям, следующее из (2.9), имеет вид

(2.10)

Используя этот результат, с помощью выражения (2.4) можно определить относительную долю молекул, абсолютные скорости которых лежат в некотором узком интервале значений dv,

(2.11)

Вид распределения dn/ndv, описываемого выражением (2.11), для двух различных температур (T2 > T1) представлен на рис. 9.

Рисунок 9

Площади под каждой кривой оказываются, очевидно, одинаковыми, что следует из нормировки на заданную плотность частиц n. Из представленного графика видно, что большинство частиц имеет скорости, близкие к некоторому среднему значению, и лишь малое их число обладает весьма высокими или низкими скоростями. С помощью распределения (2.11) могут быть рассчитаны такие характеристики как средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорость теплового движения молекул, число столкновений молекул со стенкой и другие важные параметры газа.