Основные параметры помехоустойчивых кодов

Проблема повышения верности обусловлена не соответствием между требованиями, предъявляемыми при передачи данных и качеством реальных каналов связи. В сетях передачи данных требуется обеспечить верность не хуже 10^-6 - 10^-9, а при использовании реальных каналов связи и простого (первичного) кода указанная верность не превышает 10^-2 - 10^-5.

Одним из путей решения задачи повышения верности в настоящее время является использование специальных процедур, основанных на применении помехоустойчивых (корректирующих) кодов.

Простые коды характеризуются тем, что для передачи информации используются все кодовые слова (комбинации), количество которых равно N=qⁿ (q - основание кода, а n - длина кода). В общем случае они могут отличаться друг от друга одним символом (элементом). Поэтому даже один ошибочно принятый символ приводит к замене одного кодового слова другим и, следовательно, к неправильному приему сообщения в целом.
Помехоустойчивыми называются коды, позволяющие обнаруживать и (или) исправлять ошибки в кодовых словах, которые возникают при передаче по каналам связи. Эти коды строятся таким образом, что для передачи сообщения используется лишь часть кодовых слов, которые отличаются друг от друга более чем в одном символе. Эти кодовые слова называются разрешенными. Все остальные кодовые слова не используются и относятся к числу запрещенных.

Применение помехоустойчивых кодов для повышения верности передачи данных связанно с решением задач кодирования и декодирования.

Задача кодирования заключается в получении при передаче для каждой k - элементной комбинации из множества q^k соответствующего ей кодового слова длиною n из множества qⁿ.

Задача декодирования состоит в получении k - элементной комбинации из принятого n - разрядного кодового слова при одновременном обнаружении или исправлении ошибок.

Основные параметры помехоустойчивых кодов:

Длина кода - n;

Длина информационной последовательности - k;

Длина проверочной последовательности - r=n-k;

Кодовое расстояние кода - d₀;

Скорость кода - R=k/n;

Избыточность кода - R;

Вероятность обнаружения ошибки (искажения) - Р_ОО;

Вероятность не обнаружения ошибки (искажения) - Р_НО.

Кодовое расстояние между двумя кодовыми словами (расстояние Хэмминга) - это число позиций, в которых они отличаются друг от друга.

Кодовое расстояние кода - это наименьшее расстояние Хэмминга между различными парами кодовых слов.

Основные зависимости между кратностью обнаруживаемых ошибок t₀, исправляемых ошибок t_u, исправлением стираний t_c и кодовым расстоянием d₀ кода:

Стиранием называется "потеря" значения передаваемого символа в некоторой позиции кодового слова, которая известна.

Код, в котором каждое кодовое слово начинается с информационных символов и заканчивается проверочными символами, называется систематическим.

Граничные соотношения между параметрами помехоустойчивых кодов

Одной из важнейших задач построения помехоустойчивых кодов с заданными характеристиками является установление соотношения между его способностью обнаруживать или исправлять ошибки и избыточностью.

Существуют граничные оценки, связывающие d₀, n и k.

Граница Хэмминга, которая близка к оптимальной для высоко скоростных кодов, определяется соотношениями:

для q-ного кода

для двоичного кода

Граница Плоткина, которую целесообразно использовать для низкоскоростных кодов определяется соотношениями:

для q-ного кода

для двоичного кода

Границы Хэмминга и Плоткина являются верхними границами для кодового расстояния при заданных n и k, задающими минимальную избыточность, при которой существует помехоустойчивый код, имеющий минимальное кодовое расстояние и гарантийно исправляющий t_u - кратные ошибки.

Граница Варшамова-Гильберта (нижняя граница), определяемая соотношениями: и

показывает, при каком значении n-k определено существует код, гарантийно исправляющий ошибки кратности t_u.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лидовский В.И. Теория информации. - М., «Высшая школа», 2002г. – 120с.

2. Метрология и радиоизмерения в телекоммуникационных системах. Учебник для ВУЗов. / В.И.Нефедов, В.И.Халкин, Е.В.Федоров и др. – М.: Высшая школа, 2001 г. – 383с.

3. Цапенко М.П. Измерительные информационные системы. - . – М.: Энергоатом издат, 2005. - 440с.

4. Зюко А.Г. , Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. М: Радио и связь, 2001 г. –368 с.

5. Б. Скляр. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2-е, испр.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003 г. – 1104 с.