Занятие №5 Тема: « Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».
Цели: а) изучить теоретический материал по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений»; б) познакомить с основными способами определения множества значений функции. Ход занятия: 1. Проверка домашнего задания. На доске записывается ответ к каждому заданию. Если у большинства учащихся есть затруднения в решении, то задание разбирается на доске. Если задание вызвало затруднение у небольшой группы учащихся, то к каждому из них «приставляется» ученик, выполнивший задание, с целью объяснить решение. 2. Лекция по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений». Утверждение 1. Пусть дано уравнение , причем функции как правило разнородные. Если множества значений этих функций имеют общую точку (или небольшое конечное число общих точек) ; , то уравнение равносильно системе . В системе можно решить только одно уравнение, а второе проверить подстановкой получившихся корней. Утверждение 2. Если области изменения функций, входящих в уравнение (неравенство), не имеют общих точек, то уравнение (неравенство) решений не имеет. Существует несколько способов определения множества значений функций. Рассмотрим их на примерах. Пример 1. Найти область изменения функции . Для решения задачи построим схему графика с помощью производной: 1) область определения функции y промежуток ; 2) с помощью производной найдем экстремумы. В точке функция принимает свое максимальное значение; 3) найдем значения функции в точке максимума и на концах отрезка области определения: ; ; . 4) таким образом, получаем . Пример 2. Найти область изменения функции . Преобразуем функцию к виду . Область изменения этой функции находится непосредственно: . Для нахождения множества значений некоторых тригонометрических функций удобно пользоваться следующим фактом. Утверждение 3. Функция вида изменяется на отрезке Пример 3. Найти область изменения функции . Введем замену и рассмотрим функцию , . Ее область изменения с помощью производной найти гораздо проще. . Рассмотрим на примере, как при решении уравнений знание области изменения функций, в него входящих, упрощает поиски корней. Пример 3. Решить уравнение Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях уравнения, . Найдем их множество значений . Воспользуемся утверждением 1: так как множества значений имеет общую точку 2, от уравнения можно перейти к системе . Решением системы, а, значит, и исходного уравнения является . Утверждение 4. Пусть дано неравенство . Если множества значений этих функций имеют общую точку ; , то неравенство равносильно системе . Пример 4. Решить неравенство . ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме -1. Разобьем ОДЗ на три промежутка и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков. На первом и третьем промежутках неравенство выполняется для любого x: ( ); ( ); ( ). Следовательно, оба промежутка являются решением неравенства. На втором промежутке , то есть неравенство решений не имеет. Исходя из этого получаем решением неравенства . 3. Постановка домашнего задания. 1) Выучить теоретический материал. 2) Найти множество значений функций: а) ; б) . 3) Решить уравнение .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (244)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |