Стационарные случайные процессы

Случайный процесс Х(t) называют стационарным в узком смысле, если

 

F(x₁, …, x_n; t₁, …, t_n) = F(x₁, …, x_n; t₁+∆, …, t_n+∆)

 

При произвольных

 

n≥1, x₁, …, x_n, t₁, …, t_n; ∆; t₁ ? T, t_i + ∆ ? T.

 

Здесь F(x₁, …, x_n; t₁, …, t_n) – n-мерная функция распределения случайного процесса Х(t).

Случайный процесс Х(t) называют стационарным в широком смысле, если

 

m(t) = m(t + ∆), K(t, t’) = K(t + ∆, t’ + ∆)

(t ? T, t’ ? T, t + ∆? T), t’ + ∆? T)

 

Очевидно, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

Из формул:

 

m(t) = m(t + ∆), K(t, t’) = K(t + ∆, t’ + ∆)

(t ? T, t’ ? T, t + ∆? T), t’ + ∆? T)

Следует, что для процесса, стационарного в широком смысле, можно записать

 

m (t) = m_x(0) = const;

D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;

K(t, t’) = K(t – t’, 0) = K (0, t’ - t)

 

Таким образом, для процесса, стационарного в широком смысле, математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а K(t, t’) представляет собою функцию вида:

 

K(t, t’) = k(τ) = k(-τ), τ = t’ – t.

 

Видно, что k(τ) – чётная функция, при этом

 

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

 

Здесь D – дисперсия стационарного процесса

 

Х(t), α_i (I = 1, n) – произвольные числа.

 

Первое равенство системы

 

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

 

следует из уравнения K(t, t’) = k(τ) = k(-τ), τ = t’ – t. Первое равенство

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0 - простое следствие неравенства Шварца для сечений X(t), X(t’) стационарного случайного процесса X(t). Последнее неравенство:

 

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

 

Получают следующим образом:

 

∑ ∑ α_i α_j k(t_i - t_j) = ∑ ∑ K(t_i, t_j)α_i α_j = ∑ ∑ M[(α_iX_i)(α_jX_j)] = M[(∑ α_iX_i)²] ≥0

 

Учитывая формулу корреляционной функции производной dX(t)/dt случайного процесса, для стационарной случайной функции X(t) получим

 

K₁(t, t’) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t’)/dt’)] = δ²K(t, t’) / δtδt’ = δ²k(t’ - t) / δtδt’

 

Поскольку

 

δk(t’ - t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,

δ²k(t’ - t) / δtδt’ = - (δ² k(τ) / δτ²) * (δτ / δt’) = - (δ² k(τ) / δτ²)

то K₁(t, t’) = k₁(τ) = - (δ² k(τ) / δτ²), τ = t’ – t.

 

Здесь K₁(t, t’) и k₁(τ) – корреляционная функция первой производной стационарного случайного процесса X(t).

Для n-й производной стационарного случайного процесса формула корреляционной функции имеет вид:

 

K_n(τ) = (-1)ⁿ * (δ²ⁿ *k(τ) / δτ²ⁿ)

Теорема. Стационарный случайный процесс X(t) с корреляционной функцией k(τ) непрерывен в среднем квадратическом в точке t ? T тогда и только тогда, когда

 

Lim k(τ) = k(0)

 

Для доказательства запишем очевидную цепочку равенств:

 

M [|X(t+τ)-X(T)|²] = M[|X(t)|²] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M[X(t)²] =

= 2D-2k(τ) = 2[k(0)-k(τ)].

 

Отсюда очевидно, что условие непрерывности в среднем квадратическом процесса X(t) в точке t ? T

 

Lim M[|X(t+τ) – X(t)|²] = 0

 

Имеет место тогда и только тогда, когда выполняется Lim k(τ) = k(0)

 

Теорема. Если корреляционная функция k(τ) стационарного случайного процесса X(t) непрерывна в среднем квадратическом в точке τ=0, то она непрерывна в среднем квадратическом в любой точке τ ? R¹.

Для доказательства запишем очевидные равенства:

 

k(τ+∆τ)-k(τ) = M[X(t+τ+∆τ)X(t)] – M[X(t+τ)X(t)] =

 = M{X(t)[X(t+τ+∆τ) – X(t+τ)]}

 

Затем, применяя неравенство Шварца к сомножителям в фигурной скобке и учитывая соотношения:

 

K(t, t’) = k(τ) = k(-τ), τ = t’ – t.

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

 

Получим:

 

0 ≤ [k(τ+∆τ)-k(τ)]²≤ M[X(t)²]M[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)|²] =

= 2D[D-k(∆τ)].

Переходя к пределу при ∆τ→0 и принимая во внимание условие теоремы о непрерывности k(τ) в точке τ=0, а также первое равенство системы

K(0) = В = σ² , найдём

 

Lim k(τ+∆τ) = k(τ)

 

Поскольку здесь τ – произвольное число, теорему следует считать доказанной.

Эргодическое свойство стационарных случайных процессов

Пусть Х(t) - стационарный случайный процесс на отрезке времени [0,T] с характеристиками

 

M[X(t)] = 0, K(t, t’) = M[X(t)X(t’)] = k(τ),

τ = t’ – t, (t, t’) ? T×T.

 

Эргодическое свойство стационарного случайного процесса заключается в том, что по достаточно длительной реализации процесса можно судить о его математическом ожидании, дисперсии, корреляционной функции.

Более строго стационарный случайный процесс Х(t) будем называть эргодическим по математическому ожиданию, если

 

Lim M {|(1 / T)∫ X(t)dt|²} = 0

 

Теорема

Стационарный случайный процесс Х(t) с характеристиками:

 

M[X(t)] = 0, K(t, t’) = M[X(t)X(t’)] = k(τ),

τ = t’ – t, (t, t’) ? T×T

 

является эргодическим по математическому ожиданию тогда и только тогда, когда

 

Lim (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0.

 

Для доказательства, очевидно, достаточно убедиться, что справедливо равенство

 

M{(1 / T) ∫X(t)dt|²} = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

 

Запишем очевидные соотношения

 

C = M {|(1 / T) ) ∫X(t)dt|²} = (1 / T²) ∫ ∫ k(t’ - t)dt’dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t’ - t)dt’.

 

Полагая здесь τ = t’ – t, dτ = dt’ и учитывая условия (t’ = T) → (τ = T - t),

(t’ = 0)→(τ = -t), получим

 

С = (1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =

= -(1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ

 

Полагая в первом и втором слагаемых правой части этого равенства соответственно τ = -τ’, dτ = -dτ’, τ = T-τ’, dτ = -dτ’, найдем

 

С = (1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T²) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ

 

Применяя формулу Дирихле для двойных интегралов, запишем

 

С = (1/T²) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T²) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T²) ∫ (T - τ) k(τ)dτ + (1/T²) ∫ τk (T – τ)dτ

 

Во втором слагаемом правой части можно положить τ’ = T-τ, dτ = -dτ’, после чего будем иметь

 

С = (1/Т²) ∫ (Т - τ) k(τ)dτ – (1/T²) ∫ (T - τ) k(τ)dτ = 2/T ∫ (1- (τ/T)) k(τ)dτ

 

Отсюда и из определения констант видно, что равенство

 

M{(1 / T) ∫X(t)dt|²} = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

 

Справедливо.

 

Теорема

Если корреляционная функция k(τ) стационарного случайного процесса X(t) удовлетворяет условию

 

Lim (1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0

 

То X(t) является эргодическим по математическому ожиданию.

Действительно, учитывая соотношение

M{(1 / T) ∫X(t)dt|²} = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Можно записать

 

0 ≤ (2/Т) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1- τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)|dτ

 

Отсюда видно, что если выполнено условие, то

 

Lim (2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0

 

Теперь, принимая во внимание равенство

 

С = (1/Т²) ∫ (Т - τ) k(τ)dτ – (1/T²) ∫ (T - τ) k(τ)dτ = 2/T ∫ (1- (τ/T)) k(τ)dτ

И условие Lim M {|(1 / T)∫ X(t)dt|²} = 0

 

Эргодичности по математическому ожиданию стационарного случайного процесса X(t), находим, что требуемое доказано.

 

Теорема.

Если корреляционная функция k(τ) стационарного случайного процесса

X(t) интегрируема и неограниченно убывает при τ → ∞, т.е. выполняется условие

 

При произвольном ε > 0, то X(t) – эргодический по математическому ожиданию стационарный случайный процесс.

Действительно, учитывая выражение

 

Для Т≥Т₀ имеем

(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)|dτ ε(1 – T₁/T).

 

Переходя к пределу при Т → ∞, найдём

 

0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.

 

Поскольку здесь ε > 0 – произвольная, сколько угодно малая величина, то выполняется условие эргодичности по математическому ожиданию. Поскольку это следует из условия

О неограниченном убывании k(τ), то теорему следует считать доказанной.

Доказанные теоремы устанавливают конструктивные признаки эргодичности стационарных случайных процессов.

Пусть

 

X(t) = m + X(t), m=const.

 

Тогда M[X(T)] = m, и если X(t) - эргодический стационарный случайный процесс, то условие эргодичности Lim M {|(1 / T)∫ X(t)dt|²} = 0 после несложных преобразований можно представить в виде

 

Lim M{[(1/T) ∫ X(t)dt – m]²} = 0

 

Отсюда следует, что если X(t) – эргодический по математическому ожиданию стационарный случайный процесс, то математическое ожидание процесса X(t) = m + X(t) приближенно может быть вычислено по формуле

 

M = (1/T) ∫ x(t)dt

 

Здесь Т – достаточно длительный промежуток времени;

x(t) – реализация процесса X(t) на отрезке времени [0, Т].

Можно рассматривать эргодичность стационарного случайного процесса X(t) по корреляционной функции.

Стационарный случайный процесс X(t) называется эргодическим по корреляционной функции, если

 

Lim M {[ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)]²]} = 0

 

Отсюда следует, что для эргодического по корреляционной функции стационарного случайного процесса X(t) можно положить

 

k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ)dt

 

при достаточно большом Т.

Оказывается, условие

ограниченности k(τ) достаточно для эргодичности по корреляционной функции стационарного нормально распределенного процесса X(t).

Заметим, случайный процесс называется нормально распределённым, если любая его конечномерная функция распределения является нормальной.

Необходимым и достаточным условием эргодичности стационарного нормально распределенного случайного процесса является соотношение

 

τ₀ : lim (1/T) ∫ [k(τ)² + k(τ + τ₀) k(τ – τ₀)] (1 – τ/T)dτ = 0

Литература

 

1. Н.Ш. Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика» / ЮНИТИ / Москва 2007.

2. Ю.В. Кожевников «Теория вероятностей и математическая статистика» /Машиностроение/ Москва 2002.

3. Б.В. Гнеденко «Курс теории вероятностей» /Главная редакция физико-математической литературы/ Москва 1988.