Определение контактных напряжений

 

Контактное напряжение состоит из двух составляющих:

- нормальное касательное напряжение σz, направление вектора которого совпадает с нормалью к площадке приложения сил,

- касательное контактное напряжение τк, действующее в плоскости площадки приложения сил. (см. рисунок 5)

 

Рисунок 5. Кинематическая схема при осадке

 

Направление элементарных сил трения на контактной поверхности, а следовательно, и контактных касательных напряжений показано на рисунок 5. Согласно правилу знаков касательные напряжения на половине фигуры справа от оси будут отрицательны, а слева – положительны. В силу симметрии сечения относительно координатных осей достаточно рассматривать лишь первый квадрант.

Выделим в теле бесконечно малый объём плоскостями, параллельными оси z на расстоянии x и x+dx от начала координат; длину этого объёма примем равной единице. (см. рисунок 6). На выделенный объём действуют нормальные напряжения σz, σx, σx+dσx и касательное напряжение τxz. Согласно второму допущению принимаем, что σz и σx не зависят от координаты z, т.е. постоянны по высоте и зависят только от координаты x. Тогда второе дифференциальное уравнение равновесия

 тождественно обращается в нуль.

 

Рисунок 6. Схема к определению усилия осадки

 

Касательное напряжение τxz, переменное по ширине и высоте, на контактной поверхности равно τк - касательному напряжению, обусловленному

трением тела об инструмент. Величина уменьшается при удалении от контактной поверхности и вследствие симметрии на середине высоты полосы равна нулю. Примем, что τxz зависит от высоты полосы линейно, т.е.

. (10)

Тогда . (11)

Подставив значение  в первое уравнение равновесия, получим:

 (12)

Так как касательное напряжение на контактной поверхности обусловлено трением металла об инструмент, естественно его определить на основании закона Кулона - Амонтона:

 (13)

Тогда  (14)

Уравнение пластичности для плоского деформированного состояния для нашего случая представим в виде:

 (15)

Разность нормальных напряжений зависит от касательного напряжения.

Если касательное контактное напряжение не зависит от нормальных напряжений, то разность нормальных напряжений – величина постоянная. В частных случаях, когда τк и τxz равны нулю (трение отсутствует), σx и σz являются главными напряжениями и выражение (15) превращается в уравнение (6):

 (16)

Когда τк достигнет максимальной величины k, уравнение (15) получит вид:

 (17)

Дифференцируя уравнения (6) и (17), получаем уравнение пластичности в дифференциальной форме:

 (18)

точное при указанных выше условиях постоянства или независимости τк от σx и σz.

Если τк зависит от нормального напряжения σz, как в нашем случае, при изменении τк от нуля до 0,7k для приближённых расчётов можно пользоваться уравнением пластичности в форме (6), а при 0,7k < τк ≤ k - в форме (15). Тогда выражение (17) является приближённым.

Подставив выражения (13) и (18) в уравнение (12), получим:

 (19)

После разделения переменных и интегрирования находим:

 (20)

Отсюда

 (21)

Постоянную интегрирования C1 определим из граничного условия (при x=b, σz = - β∙σт = - σт):

 (22)

Следовательно,

 (23)

 (24)

По формуле (23) можно определить σz в любой точке контактной поверхности.

Зона скольжения – участок где металл скользит по инструменту, контактное касательное напряжение является напряжением трения скольжения и подчиняется закону Кулона - Амонтона (напряжение трения равно произведению коэффициента трения на нормальное давление). На этом участке касательные напряжения возрастают, пропорциональны нормальному напряжению и изменяются от (х =0,5∙а) до (х = хв = 0,5∙а - ψ∙h).

Изменение нормального напряжения описывается уравнением:

Изменение касательного контактного напряжения - уравнением:

Однако увеличение абсолютной величины с уменьшением х может происходить до значения .

Эпюра нормальных напряжений в зоне скольжения – возрастающая показательная кривая. Эпюра касательных напряжений в зоне скольжения – возрастающая показательная кривая.

Вариант 1

Крайние значения:

При х = 0,5∙140 = 70 мм:

 МПа.

МПа.

При х = хв = 0,5∙140 – 0,28∙22 = 63,84 мм:

 МПа.

МПа.

Промежуточные значения:

При х = 68 мм:

 МПа.

МПа.

При х = 66 мм:

МПа.

МПа.

Зона торможения – участок от (х = хв) до (х = хс = h), в котором равновероятно скольжение металла по инструменту и сдвиги внутри металла по плоскостям, параллельным контактной плоскости. После того как  достигнет значения , а  значения , рост касательного напряжения  прекращается и оно принимает постоянное значение постоянства касательных напряжений

Изменение нормального напряжения описывается уравнением:

Изменение касательного контактного напряжения - уравнением:

Эпюра нормальных напряжений в зоне торможения – возрастающая прямая (линейная зависимость). Эпюра касательных напряжений в зоне торможения – горизонтальная прямая (неизменная величина).

Крайние значения:

При х = хв = 63,84 мм:

 МПа (см. выше)

МПа. (см. выше)

При х = хс ≈ h ≈ 22 мм:

 МПа.

МПа.

Зона прилипания – участок, где контактные касательные напряжения меняют своё направление при переходе через середину полосы и на контактной поверхности изменяются по линейному закону. Возрастание нормальных напряжений происходит менее интенсивно, чем в предыдущих зонах. Величина нормального напряжения на оси полосы имеет максимальное значение. Экспериментально установлено, что за границу этой зоны можно приближённо принять абсциссу, равную толщине образца, т.е. от (х = хс ≈ h) до (х = х0 = 0)

Изменение нормального напряжения описывается уравнением:

Изменение касательного контактного напряжения - уравнением:

Эпюра нормальных напряжений в зоне прилипания – параболическая зависимость. Эпюра касательных напряжений в зоне прилипания – наклонная прямая, проходящая через начало координат (линейная зависимость).

Крайние значения:

При х = хс ≈ 22 мм:

 МПа (см. выше)

 МПа. (см. выше)

При х = х0 = 0 мм:

 МПа.

МПа.

Промежуточные значения:

При х = 20 мм:

 МПа.

При х = 15 мм:

МПа.

При х = 10 мм:

 МПа.

При х = 5 мм: МПа.

Протяжённость участков зависит от соотношения ширины полосы к её толщине и от величины коэффициента трения.

 

Рисунок 7. Эпюра распределения контактных нормальных напряжений

Рисунок 8. Эпюра распределения контактных касательных напряжений