Первый признак равенства треугольников

1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3) Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1)Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2)Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3)Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4)Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

7. Признаки параллельности прямых:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

1)Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180градусам.

2)Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны.

3)Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

8. Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства:

1)В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2)Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

3)Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны .

4)Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.

Признаки параллелограмма:

• Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

9. Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства:

• Все свойства параллелограмма.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
• Диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Признаки ромба:

• Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
• Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами углов, то этот параллелограмм — ромб.

10. Квадра́т - прямоугольник , у которого все углы и стороны равны.

Свойства:
1.у квадрата все углы прямые;
2. диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата попалам.

11. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства:

• Все свойства параллелограмма.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

Признак прямоугольника: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

12. Трапеция - четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны.

Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны

Свойства :

1)В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

2)В равнобедренной трапеции диагонали равны.

3)Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

4)Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Признаки равнобедренной трапеции.

- Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

- Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

- Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

13. Средняя линия треугольника - отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

• средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
• средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвертой площади исходного треугольника.

14. Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции.

• средняя линия параллельна основаниям и равна половине суммы оснований.

15. Медиа́на треуго́льника - отрезок , соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

•  Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
• Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
• В прямоугольном треугольнике медиана равняется половине гипотенузы.

16. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника:

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

17. Признаки подобия треугольников:

I. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Формулы площадей:

- Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

S =	1	a · h
	2

Формула Герона

S = √p(p – a)(p – b)(p – c)

- Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S =	1	a · b · sin γ
	2

- Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a²

- Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b

- Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h

- Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h

-Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

 

- Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

S = 1\2  (a + b) · h

- Площадь кругаравна произведению квадрата радиуса на число пи.

S = π r²

- Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

S = π · a · b

 

19. Если при преобразовании подобия с коэффициентом k простая фигура F переходит в фигуру F¹, то отношение площади фигуры F¹ к площади фигуры F равно k² то есть

20. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

21. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника

Свойства :

· В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.

• Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
• Радиус вписанной в треугольник окружности равен

Центромвписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности:

Равнобедренный треугольник:

Равносторонний треугольник:

Прямоугольный треугольник:

Произвольный треугольник:

22. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника.

Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности около произвольного треугольника равен:

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности определяется по формуле:

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности определяется по формуле:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности определяется по формуле:

23.

24. Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника.

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле:

25. Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами.

Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды.

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды.

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной

около этого треугольника окружности.

26. Хорда- отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Свойства хорд окружностей:

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

У равных дуг равны и хорды.

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

27. Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей.

Свойства: Если из точки к окружности проведены две касательные, то

А) длины отрезков касательных от этой точки до точки касания равны,

В) прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам.

Градусная мера угла, образованного хордой и касательной, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами.

Если из точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от этой точки до точек ее пересечения с окружностью.

Если через точку внутри окружности проведено сколько угодно хорд, то произведение длин отрезков каждой хорды, на которые ее делит точка, есть число постоянное для всех хорд.

28. Теорема о секущих:

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

29. Свойства вписанных углов:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой.

30. Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

31. Если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.