Преобразования Лоренца.

Преобразования Лоренца в физике [ править | править исходный текст ]

Преобразованиями Лоренца в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Аналогично, преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.

Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.

Преобразования Лоренца без сдвигов начала отсчёта образуют группу Лоренца, со сдвигами — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

С математической точки зрения преобразования Лоренца — это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.

Следствия преобразований Лоренца[ править | править исходный текст ]

Изменение длины[ править | править исходный текст ]

Основная статья: Релятивистское сокращение длины

Пусть в системе отсчета покоится стержень, и координаты его начала и конца равны , . Для определения длины стержня в системе фиксируются координаты этих же точек в один и тот же момент времени системы . Пусть — собственная длина стержня в , а — длина стержня в . Тогда из преобразований Лоренца следует:

или

Таким образом, длина движущегося стержня, измеренная «неподвижными» наблюдателями, оказывается меньше, чем собственная длина стержня.

Относительность одновременности[ править | править исходный текст ]

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта, то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы. При из преобразований Лоренца следует:

Если , то и . Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого ( ). Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

Пусть в двух системах отсчёта, вдоль оси расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время. Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе . Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в (правый рисунок).

релятиви́стское замедле́ние вре́мени - кинематическийэффект специальной теории относительности, заключающийся в том, что в движущемсятеле все физические процессы проходят медленнее, чем следовало бы для неподвижного тела по отсчётам времени неподвижной (лабораторной) системы отсчёта.

Релятивистское замедление времени проявляется^[1], например, при наблюдениикороткоживущих элементарных частиц, образующихся в верхних слоях атмосферы под действием космических лучей и успевающих благодаря ему достичь поверхности Земли.

Данный эффект, наряду с гравитационным замедлением времени учитывается в спутниковых системах навигации, например, в GPS ход времени часов спутников скорректирован на разницу с поверхностью Земли^[2], составляющую суммарно 38 микросекунд в день

Аберрация[ править | править исходный текст ]

Аберрация света является видимым смещением объекта при относительном движении наблюдателя и этого объекта. Пусть в системе отсчёта S' источник света неподвижен, и находится под углом к оси x'. Тогда в системе S, относительно которой система S' движется вдоль оси x со скоростью v, направление на этот источник света составит угол . В соответствии с релятивистским правилом сложения скоростей, эти два угла связаны следующим образом:

где .

Относительность пространственно-временных свойств тел и процессов в различных инерциальных системах и абсолютность 4-х мерного интервала «пространства-времени» (пространства Г.Минковского).

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ

- физическая теория, рассматривающая пространственно-временные свойства физич. процессов. Эти свойства являются общими для всех физич. процессов, поэтому их часто наз. просто свойствами пространства-времени. Свойства пространства-времени зависят от полей тяготения, действующих в данной его области. Свойства пространства-времени при наличии полей тяготения исследуются в общей О. т., наз. также теорией тяготения. В частной (специальной)

О. т. рассматриваются свойства пространства-времени в том приближении, в к-ром эффектами, связанными с нолями тяготения, можно пренебречь. Ниже излагается частная О. т., об общей О. т. см. Тяготения теория, О. т. часто наз. также теорией относительности Эйнштейна по имени ее создателя А. Эйнштейна (см. [1], [2]).

Основные черты теории относительности. Специфические (релятивистские) аффекты, описываемые О. т. и отличающие ее от предшествующих физич. теории, проявляются при скоростях движения тел, близких к скорости света в вакууме см/сек. При таких скоростях, наз. релятивистскими, зависимость энергии Етела массы тот его скорости vописывается формулой

При скоростях v, много меньших с, формула (1) приобретает вид

Второй член справа в формуле (2) совпадает с формулой для кинетич. энергии в классич. механике, а первый член показывает, что покоящееся тело обладает энергией E=mc², наз. энергией покоя. В ядерных реакциях и процессах превращения элементарных частиц энергия покоя может переходить в кинетич. энергию частиц. Из формулы (1) вытекает, что энергия тел с ненулевой массой стремится к бесконечности при . Если , то скорость тела всегда меньше с. Частицы с m=0 (фотоны и нейтрино) всегда движутся со скоростью света. Иногда говорят, что при релятивистских скоростях масса тела начинает зависеть от его скорости, и величину

.

наз. массой движения тела, a m - его массой покоя . Из формулы (1) следует, что

Скорость света в вакууме в О. т. является предельной скоростью, т. е. передача любых взаимодействий и сигналов из одной точки в другую происходит со скоростью, не превышающей скорости света.

Существование предельной скорости несовместимо с представлениями классич. механики и вызывает необходимость глубокой перестройки классич. пространственно-временных представлений.

Принцип относительности Эйнштейна и другие принципы инвариантности. В основе О. т. лежит принцип относительности, согласно к-рому любой физич. процесс протекает одинаково (при одинаковых начальных условиях) в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя по отношению к нек-рой произвольно выбранной инерциальной системе отсчета, и в такой же системе, находящейся в состоянии равномерного и прямолинейного движения относительно этой же инерциальной системы отсчета.

Справедливость принципа относительности означает, что различие между состоянием покоя и равномерного и прямолинейного движения не имеет физич. смысла. Говорят, что движущаяся система отсчета получается из системы отсчета, условно считающейся покоящейся, с помощью преобразования движения. Из принципа относительности вытекает, что физич. законы инвариантны относительно преобразований движения и имеют один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета.

Кроме принципа относительности, известны еще три типа преобразований, к-рые оставляют неизменным ход протекания физич. процессов: перенос (сдвиг) в пространстве, вращение в пространстве, перенос (сдвиг) во времени. Симметрии физич. законов относительно этих преобразований выполняются точно только в изолированных системах или им отвечают соответственно законы сохранения импульса, момента импульса и энергии.

Инерциольные системы отсчета и преобразования Лоренца. Инерциальные системы отсчета образуют в О. т. выделенный класс систем отсчета, в к-рых эффекты О. т. имеют наиболее простое описание.

Первичными понятиями О. т. являются понятия точечного события и светового сигнала. В данной инерциальной системе отсчета точечное событие можно характеризовать тремя пространственными координатами х, у, z в нек-рой декартовой системе координат и временной координатой t. Системы координат х, у,z, t в разных инерциальных системах отсчета связаныЛоренца преобразованиями. Из принципа относительности, условии симметрии и требования того, чтобы указанные преобразования образовывали группу, можно получить вид преобразовании Лоренца. Если инерциальная система отсчета L' движется относительно инерциальной системы отсчета Lсо скоростью Vтак, что оси хи х' совмещены и направлены по V, оси уи у' и z и z' соответственно параллельны, начала координат в Lи L^r совпадают вмомент t=0 и часы в системе L' в начале координат показывают при t=0 время t'=0, то преобразования Лоренца имеют вид

Для получения всех преобразований Лоренца к преобразованиям (3) нужно добавить пространственные вращения вокруг начала координат. Преобразования Лоренца образуют группу, наз. группой Лоренца. Свойство инвариантности физич. законов при преобразованиях Лоренца наз. лоренц - инвариантностью или релятивистской инвариантностью.

Из преобразований Лоренца вытекает релятивистский закон сложения скоростей. Если частица движется в инерциальпой системе отсчета L со скоростью vвдоль оси х, то скорость этой частицы в системе L' равна

Формула (4) показывает, что скорость света не зависит от скорости (4) движения источника света.

Из преобразований Лоренца вытекают также основные эффекты О. т.: относительность одновременности, замедление времени и сокращение продольных размеров тел. Так, события A и В, одновременные в системе L(t _А=t_B).и происходящие иразных точках ( х ₁, у ₁, z₁).и( х ₂, у₂, z₂), оказываются неодновременными в L':

Далее, когда часы, покоящиеся в системе Lв точке (0, 0, 0), показывают время t, то время t' по часам в L', пространственно совпадающим с часами в L в этот момент, равно

Таким образом, с точки зрения наблюдателя в L' часы в Lотстают. Однако в силу принципа относительности с точки зрения наблюдателя в Lчасы в L' также отстают. Размеры тел, покоящихся в L (т. н. собственная длина), при измерении в L' оказываются уменьшенными в раз в направлении скорости Vсравнительно с размерами в L:

При малых скоростях р преобразования Лоренца (3) с точностью до величин, стремящихся к нулю при , совпадают с преобразованиями Галилея:

Эти преобразования соответствуют повседневному опыту, в к-ром не встречаются движения тел с релятивистскими скоростями. В частности, преобразования Галилея сохраняют пространственные размеры тел и длительности физич. процессов. Преобразования (5) и различные их комбинации с пространственными поворотами образуют т. н. группу Галилея. Важным отличием преобразований Лоренца от преобразований Галилея является то, что в формулу преобразования временной координаты tвходит пространственная координата х. В связи с этим в О. т. сформировалось представление, согласно к-рому пространственные п временные свойства физич. процессов нельзя рассматривать изолированно друг от друга. Это привело к возникновению понятия пространства-времени, т. е. объекта, геометрич. свойства к-рого определяют пространственные и временные свойства физич. процессов. В классич. механике Ньютона пространственные свойства физич. процессов определяются геометрич. свойствами трехмерного евклидова пространства, а временная переменная входит в уравнения как параметр. В частной О. т. адекватной моделью пространства-времени является четырехмерное псевдоевклидово пространство E⁴(1,3₎, наз. пространством Минковского. Формирование понятия пространства-времени открыло путь к геометризации аппарата О. т., значительно развитой при разработке общей О. т.

Простра́нство Минко́вского ― четырёхмерное псевдоевклидово пространство сигнатуры , предложенное в качестве геометрической интерпретации пространства-времениспециальной теории относительности.

Каждому событию соответствует точка пространства Минковского, в лоренцевых (или галилеевых) координатах, три координаты которой представляют собой декартовы координаты трёхмерного евклидова пространства, а четвёртая ― координату , где ―скорость света, ― время события. Связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, характеризуется квадратом интервала:

(Нередко в качестве квадрата интервала берется противоположная величина, выбор знака — вопрос произвольного соглашения. Так, первоначально сам Минковский предложил именно противоположный знак для квадрата интервала).

Интервал в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замене одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве. Роль, аналогичную роли вращений координат в случае евклидова пространства, играют для пространства Минковскогопреобразования Лоренца.

Квадрат интервала аналогичен квадрату расстояния в евклидовом пространстве. В отличие от последнего квадрат интервала не всегда положителен, также между различными событиями интервал может быть равен нулю.

· Псевдоевклидова метрика в пространстве Минковского, определяемая приведенной выше формулой для интервала, называется метрикой Минковского или лоренцевой метрикой. Под лоренцевой метрикой понимают или метрику, явно соответствующую этому определению в выбранных координатах (и определяющую таким образом выбор координат), или метрику, которая может быть сведена к таковой подходящим выбором непрерывных координат. Лоренцев метрический тензор обычно обозначается , он задаёт квадратичную форму сигнатуры . Термин лоренцева метрика илиметрика Минковского может применяться и в случаях размерностей, отличных от 4. Тогда это обычно означает, что одна координата играет роль времени, а остальные — пространственных координат.

· Множество всех векторов с нулевым квадратом интервала образует коническую поверхность и называется световым конусом.

· Вектор, лежащий внутри светового конуса, называется времениподобным вектором, вне светового конуса — пространственноподобным.

· Событие в данный момент времени в данной точке называется мировой точкой.

· Множество мировых точек, описывающее движения частицы (материальной точки) во времени, называется мировой линией. В принципе этот термин может применяться и к описанию движения абстрактных («воображаемых») точек, но в основном употребляется всё же для описания движения реальных физических тел (в том числе распространения импульсов света).

· Инерциальный наблюдатель: наблюдатель, который покоится либо движется равномерно и прямолинейно (и поступательно, без вращения его координатной системы) относительно инерциальной системы отсчета. В лоренцевых (галилеевых) координатах мировая линия этого наблюдателя (и всех точек, неподвижных в его системе отсчета) выглядит особенно просто: это прямая где — параметр, а изменяется от 1 до 4 — тогда временной координатой является четвёртая, или от 0 до 3 — тогда временная координата нулевая.

· Интервал между двумя событиями, через которые проходит мировая линия инерциального наблюдателя, делённый на , называется его собственным временем, так как эта величина совпадает со временем, измеренным движущимися вместе с наблюдателем часами. Для неинерциального наблюдателя собственное время между двумя событиями соответствует интегралу от интервала вдоль мировой линии.

· Если вектор, соединяющий мировые точки, времениподобен, то существует система отсчета, в которой события происходят в одной и той же точке трёхмерного пространства.

· Если вектор, соединяющий мировые точки двух событий, пространственноподобен, то существует система отсчета, в которой эти два события происходят одновременно; они не связаны причинно-следственной связью; модуль интервала определяет пространственное расстояние между этими точками (событиями) в этой системе отсчета.

· Кривая, касательный вектор к которой в каждой ее точке времениподобен, называетсявремениподобной линией. Аналогично определяются пространственноподобные иизотропные («светоподобные») кривые.

· Множество всех мировых линий света, исходящих из данной мировой точки, как правило, рассматриваемые в совокупности со всеми входящими, образует двухполостную коническую гиперповерхность, инвариантную относительно преобразований Лоренца, называемую изотропным или световым конусом. Эта гиперповерхность разделяет причинное прошлое данной мировой точки, её причинное будущее и причинно независимую с данной мировой точкой (пространственноподобную) область пространства Минковского.

· Касательный вектор к мировой линии любого обычного физического тела является времениподобным вектором.

· Касательный вектор к мировой линии света (в вакууме) является изотропным вектором.

· Гиперповерхность, все касательные векторы которой пространственноподобны, называется пространственноподобной гиперповерхностью (на такой гиперповерхности задаются начальные условия), если же в каждой точке гиперповерхности найдется времениподобный касательный вектор, такая поверхность называется времениподобной (на такой гиперповерхности нередко могут задаваться граничные условия).

· Группой движений пространства Минковского, то есть группой преобразований, сохраняющих метрику, является 10-параметрическая группа Пуанкаре, состоящая из 4 трансляций — 3 пространственных и 1 временно́й, 3 чисто пространственных вращений и 3 пространственно-временных вращений, иначе называемых бустами. Последние 6, взятые вместе, образуют подгруппу группы Пуанкаре — группу преобразований Лоренца. Таким образом, пространство Минковского является четырёхмерным метрическим пространством наивысшей возможной степени симметрии и имеет 10 векторов Киллинга.

· Специфические физически значимые классы координат в пространстве Минковского — лоренцевы (или галилеевы) координаты, координаты Риндлера и координаты Борна. Также бывают очень удобны (особенно в двумерном случае) изотропные координаты или координаты светового конуса.

· В общей теории относительности пространство Минковского представляет собой тривиальное решение уравнений Эйнштейна для вакуума (пространства с нулевымтензором энергии-импульса и нулевым лямбда-членом).