ОБЩАЯ МЕТОДИКА СОЗДАНИЯ МАТЕТАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В общем случае процесс создания математической модели включает в себя следующие этапы:

1. Постановка задачи исследования. На этом этапе осуществляется выбор свойств объекта (системы), которые подлежат отражению в модели и отбрасывание тех свойств, которые на данном этапе исследования разработчик считает несущественными. Этот выбор основан на анализе возможных областей применения модели и определяет степень ее универсальности. Далее необходим сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут быть опыт и знания разработчиков; научно-техническая литература, прежде всего справочная; описание прототипов – имеющихся моделей для объектов, близких по свойствам к исследуемому; результаты экспериментальных исследований.

2. Синтез структуры математической модели. Этап заключается в получении общего вида математических соотношений без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров.

3. Определение числовых значений параметров модели. Эта операция ставится, как задача минимизации погрешности математической модели заданной структуры. Она иногда носит название параметрический синтез. При этом часто используются экспериментальные значения выходных параметров объекта исследования при заданных входных и управляющих.

4. Анализ модели. На этом этапе производится оценка точности и адекватности полученной математической модели. Для этой цели должны применяться те значения выходных параметров, которые не были использованы ранее при определении числовых значений параметров.

Следует отметить, что значительную ценность представляют не оценки точности, выполненные в двух-трех точках пространства внешних переменных, а сведения об области адекватности математической модели. И хотя определение области адекватности требует больших вычислительных и экспериментальных затрат, это придает математической модели завершенность и возможность дальнейшего многократного использования.

Общая схема процесса получения аналитических и статистических моделей представлена на рис.1.3.

Если анализ модели показывает, что она неудовлетворительно описывает объект, то сначала следует попытаться изменить числовые значения некоторых параметров. Когда данный путь не привел к успеху, нужно скорректировать структуру модели, а затем повторить нижеследующие этапы. Возможна ситуация, при которой мы и теперь не получили желаемого результата. В таком случае ошибка кроется на стадии постановки задачи, то есть необходимо возвратиться в самое начало работы и повторить процесс вновь.

Из рассмотренной схемы видно, что этапы могут выполняются неоднократно в процессе приближения к желаемому результату. Необходимо также добавить, что этап анализа обычно заключается в однократном решении уравнений, составляющих математическую модель. Однако в процессе получения адекватной модели он повторяется много раз.

Рис.1.3. Общая схема получения математической модели

Этап постановки задачи является основополагающим, наиболее ответственным и важным этапом. Он целиком базируется на значениях об объекте исследования. Постановка задачи абсолютно не поддается формализации, здесь невозможно дать заранее приготовленных рецептов. Это творческий процесс и его успех полностью зависит от опыта, знаний и интуиции исследователя.

Немаловажную роль опыт и интеллект исследователя играют и на стадии синтеза структуры математической модели. Это тоже творческая, плохо формализуемая операция. Однако существуют определенные методические подходы, позволяющие несколько облегчить получение математических моделей. О них будет сказано ниже.

Другие этапы получения математической модели, а также работа с ней допускают использование методов вычислительной математики и могут быть сравнительно легко формализованы. Поэтому они должны выполняться с использованием современных средств вычислительной техники. Для этого требуется создать соответствующие алгоритмы и разработать программы для компьютера. Следует сказать, что в настоящее время существуют разнообразные пакеты прикладных программ, реализующие многие математические методы решения уравнений и задачи оптимизации. Это программное обеспечение может быть полезно как при параметрическом синтезе, так и при анализе полученной модели. Однако нельзя забывать, что численные методы могут вносить заметные погрешности и даже существенно искажать полученные данные. Поэтому, применяя их, следует внимательно относиться к интерпретации результатов математического моделирования.

При получении математических моделей можно использовать теоретический и формальный методы.

Аналитические математические модели создаются в результате исследований процессов и их закономерностей. Они базируются на фундаментальных законах, а также общепринятых положениях в данной области науки. При выводе таких моделей применяют строгие математические преобразования.

Также неформально можно получить и статические модели. Однако при их получении изучаются лишь внешние проявления свойств объекта исследований – выходные параметры и фазовые переменные, а затем производится обработка экспериментальных результатов.

Формальные методы получения моделей используются при известных математических моделях элементов, составляющих объект исследования.