Генеральная и выборочная средние

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Институт прикладной математики и компьютерных наук

Кафедра информационной безопасности

 

 

Материал для практических занятий по курсу

Теория вероятностей и математическая статистика

 

 

 

Разработчик:

к. т. н., доц. Баранова Е. М.

 

Тула, 2018 г.

 

Статистическое и эмпирическое распределения

 

Задача 1

Задано распределение частот выборки:

хi	2	5	10
ni	11	6	3

Написать ряд распределения относительных частот. Построить многоугольник распределения относительных частот.

Решение

1. Определим объем выборки: . Получим: n=11+6+3=20.

2. Определим относительные частоты: . Получим: ; ; .

3. Запишем ряд распределения относительных частот:

хi	2	5	10
wi	0,55	0,3	0,15

4. Проведем контроль. Т. к. значения случайных величин распределения частот составляют полную группу, то 0,55+0,3+0,15=1.

5. Построим многоугольник распределения относительных частот:

 

Задача 2

Задано распределение частот выборки:

хi	15	150	1500	15000
ni	10	22	16	0

Написать ряд распределения относительных частот. Построить многоугольник распределения относительных частот.

Решение

1. Определим объем выборки: . Получим: n=10+22+16+0=48.

2. Определим относительные частоты: . Получим: ; ; ; .

3. Запишем ряд распределения относительных частот:

хi	15	150	1500	15000
wi	0,208	0,458	0,333	0

4. Проведем контроль. Т. к. значения случайных величин распределения частот составляют полную группу, то 0,208+0,458+0,333+0=1.

5. Построим многоугольник распределения относительных частот:

 

 

Задача 3

Задано распределение частот выборки:

хi	3	7	9
ni	12	18	30

Построить эмпирическую функцию распределения.

Решение

1. Найдем объем выборки: . Получим: n=12+18+30=60.

2. Наименьшая варианта ряда (значение Х) равна 3, следовательно,  при .

3. Значение Х<7, а именно , по данным ряда наблюдалось 12 раз, следовательно,  при .

4. Значение Х<9, а именно  и , по данным ряда наблюдалось 12+18=30 раз, следовательно,  при .

5. так как 9 – наибольшая варианта, то  при .

6. Получим искомую эмпирическую функцию:

 

7. График этой эмпирической функции выглядит следующим образом:

 

 

Задача 4

Задано распределение частот выборки:

хi	0,2	0,25	0,3	0,35
ni	1	4	8	5

Построить эмпирическую функцию распределения.

Решение

1. Найдем объем выборки: . Получим: n=1+4+8+5=18.

2. Наименьшая варианта ряда (значение Х) равно 0,2, следовательно,  при .

3. Значение Х<0,25, а именно , по данным ряда наблюдалось 1 раз, следовательно,  при .

4. Значение Х<0,3, а именно  и , по данным ряда наблюдалось 1+4=5 раз, следовательно,  при .

5. Значение Х<0,35, а именно ,  и по данным ряда наблюдалось 1+4+8=13 раз, следовательно,  при .

6. Так как 0,35 – наибольшая варианта, то  при .

7. Получим искомую эмпирическую функцию:

 

7. График этой эмпирической функции выглядит следующим образом:

 

Полигон и гистограмма

Задача 5

Задано распределение частот выборки:

8,59	9,72	10,21	8,75	8,84
8,17	11,36	11,26	8,94	10,60
12,26	10,42	8,68	11,09	9,42
9,56	10,39	5,67-min	7,58	9,56
9,80	10,90	13,05-max	12,46	11,66

Построить гистограмму и полигон.

Решение

1. Установим количество интервалов. Принято устанавливать количество интервалов К=5-7, если объем выборки n<100 и К=7-9, если объем выборки n>100. Примем К=5.

2. Установим длину интервалов: ; .

3. Подсчитаем частоты:

Интервал	Подсчет частот	Частота
5,67-7,146	/	1
7,146-8,622	/ / /	3
8,622-10,098	/ / / / / / / / /	9
10,098-11,576	/ / / / / / / /	8
11,576-13,05	/ / / /	4
Итого:                                                                                              25

4. Построим гистограмму:

 

 

5. Построим полигон. Полигон соединяет точки, расположенные в центре столбцов гистограммы.

 

Задача 6

Задано распределение частот выборки:

3-min	11	3	7
5	12	18	23-max
8	4	14	4
14	8	15	10
12	4	11	12
16	14	4	5
4	5	8	5
12	3	9	10

Построить гистограмму и полигон.

Решение

1. Установим количество интервалов. Принято устанавливать количество интервалов К=5-7, если объем выборки n <100 и  К=7-9, если объем выборки n>100. Примем К=5.

2. Установим длину интервалов: ; .

3. Подсчитаем частоты:

Интервал	Подсчет частот	Частота
3-7	/ / / / / / / / / / / / /	13
7-11	/ / / / / /	6
11-15	/ / / / / / / / / /	10
15-19	/ /	2
19-23	/	1
Итого:                                                                                              32

4. Построим гистограмму:

 

 

 

 

5. Построим полигон. Полигон соединяет точки, расположенные в центре столбцов гистограммы.

 

Генеральная и выборочная средние

 

Задача 7

Задано распределение частот генеральной совокупности некоторого признака:

Значение признака	110	120	130	140	150	160
Частота	540	672	920	368	419	581

Определить генеральную среднюю. Определить математическое ожидание ряда распределения.

Решение

1. Определим объем генеральной совокупности: N=540+672+920+368+419+581=3500.

2. Определим генеральную среднюю:

.

3. Определим математическое ожидание ряда распределения:

3.1. Запишем ряд распределения:

Значение признака	110	120	130	140	150	160
Р

3.2. Проведем контроль: 0,154+0,192+0,263+0,105+0,12+0,166=1

3.3. Определим математическое ожидание:

4. Таким образом,

Ответ: 583,33.

 

Задача 8

Задано распределение частот генеральной совокупности некоторого признака:

Значение признака	12	13	14	15	16	17	18	19
Частота	1200	3600	4258	7821	1245	1265	1248	4363

Определить генеральную среднюю.

Решение

1. Определим объем генеральной совокупности: N=1200+3600+4258+7821+1245+1265+1248+4363=25000.

2. Определим генеральную среднюю: ;

.

Ответ: 14,88

 

Задача 9

Задано распределение частот выборки по некоторому признаку:

Значение признака	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4	0,45
Частота	1	4	4	7	2	3	6	3

Определить выборочную среднюю. Определить математическое ожидание ряда распределения.

Решение

1. Определим объем выборки: n=1+4+4+7+2+3+6+3=30.

2. Определим выборочную среднюю:

.

3. Определим математическое ожидание ряда распределения:

3.1. Запишем ряд распределения:

Значение признака	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	0,4	0,45
Р

3.2. Проведем контроль:

0,033+0,133+0,133+0,233+0,067+0,1+0,2+0,1=1

3.3. Определим математическое ожидание:

4. Таким образом,

 

Ответ: 0,2882.

 

Задача 10

Задано распределение частот выборки по некоторому признаку:

Значение признака	100	100,5	102	102,5	103	103,5	104	104,5	105	105,5	106
Частота	1	1	3	4	2	0	7	2	3	1	0

Определить выборочную среднюю.

Решение

1. Определим объем выборки:

n=1+1+3+4+2+0+7+2+3+1+0=24.

2. Определим выборочную среднюю:

 

Ответ: 103,3