Энергия и мощность в цепи синусоидального тока с идеальными R, L, C элементами

СООТНОШЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

 

 

Проводимость цепи

 

К цепи подведено напряжение .

По 2 закону Кирхгофа запишем для мгновенных значений величин:

 

 

 

Комплекс действующего напряжения равен сумме комплексных значений падений напряжений:

 

 

Построим векторную диаграмму для этой схемы

 

Из векторной диаграммы (D 0АВ):

 

;

 

Отсюда:  – закон Ома для цепи переменного тока.

 – полное сопротивление цепи.

Если сопротивлений много, то .

Аналогично можно записать из исходного уравнения:

 

,

 

где  – реактивное сопротивление цепи.

D 0АВ – треугольник напряжений:

 

 

Разделив каждую строчку треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений:

 

Угол j представляет собой угол сдвига фаз между током и напряжением:

 

.

 

 

Активные, реактивные и полные проводимости цепи

 – комплексная проводимость цепи.

 

,

 

где  – активная проводимость цепи (при X=0 G=1/R).

 – реактивная проводимость цепи.

При X=X_L - X_C > 0 B > 0,

а при X=X_L - X_C < 0 B < 0.

С учетом проводимостей закон Ома принимает вид:

 

 

,

 

где I_a – активная составляющая тока I;

I_p – реактивная составляющая тока I.

Векторная диаграмма имеет вид:

 

 

 

Треугольник проводимостей:

 

.

 

Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока

 

1-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю.

Или геометрическая сумма векторов, изображающих токи в узле, равна нулю.

Для действующих значений: ;

для мгновенных значений: .

2-й закон Кирхгофа: Если каждый участок контура электрической цепи содержит R, L, C элементы, тогда мгновенные значения ЭДС, действующие в замкнутом контуре, равны алгебраической сумме мгновенных значений падений напряжений на участках этого контура:

 

.

 

Сумма комплексных значений ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме комплексных значений падений напряжений на участках этого контура:

 

.

 

Энергия и мощность в цепи синусоидального тока с идеальными R, L, C элементами

 

В цепи постоянного тока мощность определялась выражением .

Рассмотрим цепь переменного тока с последовательным соединением R, L, C элементов.

 

 

Запишем подведенное напряжение:  и ток .

. При y_i=0 y_u=j.

Если X_L >X_C, то j > 0 и наоборот.

Для мгновенных значений справедливо выражение:

 

.

 

Отдельно здесь запишем: .

 

.

 

Результат:  – это выражение для мгновенной мощности.

Энергия, которая поступает в цепь, определяется средним значением мощности за период:

 

.

 

Но , поэтому .

 – коэффициент мощности.

Из треугольника напряжений , поэтому

 активная мощность.

Таким образом, среднюю мощность называют активной мощностью.

Рассмотрим цепь с активным элементом, т.е. j = 0.

 

.

Построим график этой функции:

 

 

 

Мощность больше нуля, значит на активном элементе энергия поступает от источника в цепь и здесь тратится. Что это за энергия?:

 

 – это энергия тепловая.

 

Рассмотрим цепь с индуктивным элементом, т.е. j = p/2.

 

.

 

Но и первое и второе выражения равны нулю, т.е. среднее значение мощности за период равно нулю. Из общего выражения для мгновенной мощности:

 

 

 

 

За период мощность дважды меняет знак.

Положительное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия поступает в цепь. Отрицательное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия возвращается источнику. Таким образом идеальный индуктивный элемент энергии не потребляет.

Найдем значение энергии, поступающей с цепь за четверть периода:

 – это выражение для энергии магнитного поля.

Здесь мы сделали замену пределов интеграла: при t=0 i=0; при t=T/4 i=I_m.

Таким образом, энергия, поступившая в цепь с идеальным индуктивным элементом, преобразуется в энергию магнитного поля. Мощность положительна, когда ток растет по абсолютной величине.

В этот момент энергия поступает в цепь и преобразуется в энергию магнитного поля.

При уменьшении тока запасенная энергия в индуктивном элементе возвращается источнику, т.е. в такой цепи между источником и потребителем происходит непрерывный обмен энергиями.

Рассмотрим цепь с емкостным элементом, т.е. j = -p/2.

Из общего выражения для мгновенной мощности:

. Здесь ток опережает напряжение. Тот же рисунок, но ток и напряжение поменяли местами

 

 

 – это энергия электрического поля.

Таким образом, в цепи с идеальным емкостным элементом имеют место процессы, аналогичные процессам в цепи с индуктивным элементом, но здесь колеблется энергия электрического поля.

В реальной электрической цепи имеют место одновременно оба явления: и необратимое преобразования энергии источника в тепло и обмен энергиями между источником и потребителями.

Полная, активная и реактивная мощности

 

 

– треугольник напряжений.

Умножим каждую сторону треугольника напряжений на ток и получим треугольник мощностей.

 

 

 – активная мощность, которая преобразуется в тепло или механическую работу [Вт].

 – реактивная мощность, которая затрачивается на создание магнитных и электрических полей, а затем возвращается к источнику, [вар].

 – полная мощность [ВА].

Мощность в символической форме

Пусть ;

 

.

 

В комплексной форме эти выражения:

; ; .

 

Комплексно сопряженное значение тока: .

 

Запишем выражение

 

.

 

 – комплекс полной мощности.

Вещественная часть этого комплекса представляет активную мощность, а мнимая часть – реактивную мощность.