Общие теоретические сведения

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12. ИССЛЕДОВАНИЕ

АПЕРИОДИЧЕСКОГО И КОЛЕБАТЕЛЬНОГО

РАЗРЯДОВ КОНДЕНСАТОРА

Цель работы:

1. Исследование процесса разряда конденсатора на активное сопротивление. Определение влияния на разряд конденсатора значения активного сопротивления. Опытное определение величины емкости конденсатора по осциллограмме.

2. Исследование колебательного разряда конденсатора. Сравнение величин, полученных из опыта с расчетными.

3. Определение критического сопротивления.

Общие теоретические сведения

В электрических цепях различают установившиеся (стационарные) и неустановившиеся (нестационарные или переходные) процессы. Переходные процессы могут возникнуть в электрических цепях в результате включения или отключения этих цепей. Так например, при включении цепи с конденсатором C и активным сопротивлением r₀ на постоянное напряжение (положение переключателя П в положение 1 на рис.12.1) или разряде предварительно заряженного конденсатора С на активное сопротивление R (положение переключателя П в положение 2 на рис.12.1) в цепи возникают переходные процессы.

 

Рис.12.1. Электрическая схема заряда и разряда конденсатора на активную нагрузку.

В результате этих процессов конденсатор С постепенно заряжается или разряжается, т. е. заряд q и напряжение u_C на его выводах с течением времени t постепенно возрастают или уменьшаются и по цепи протекает ток в соответствии с выражением:

.                            (12.1)

 

При разряде заряженного конденсатора на активное сопротивление R (положение переключателя П в положение 2 на рис.12.1) уравнение переходного процесса, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется:

.                            (12.2)

Подставив значение тока из формулы (12.1) в уравнение (12.2), получим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, описывающее изменение напряжения на конденсаторе в процессе его разряда на активное сопротивление:

.                                  (12.3)

Таким образом, задача о нахождении напряжения на конденсаторе в переходном режиме в линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Решение дифференциальное уравнения (12.3) известным из математики классическим методом имеет вид:

,                (12.4)

где:  - установившееся значение напряжения на конденсаторе при  (частное решение дифференциального уравнения (12.3) с правой частью);

- свободная составляющая напряжения на конденсаторе (общее решение дифференциального уравнения (12.3) без правой части);

 - корень характеристического уравнения RCp+1=0, полученного путем алгебраизации дифференциального уравнения (12.3) без правой части.

t = RC - постоянная времени цепи RC, измеряется в секундах и характеризует скорость уменьшения экспоненты;

С - емкость конденсатора, Ф;

R - величина активного сопротивления, Ом;

u_С(0) - напряжение на конденсаторе в момент коммутации (t = 0),

 - постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий (НУ). Начальные условия переходного процесса – это значения напряжений на конденсаторах С и токов в индуктивностях L, которые согласно законам коммутации не могут изменяться скачком. Следовательно, для конденсатора НУ будут равны: t=0, u_C= u_C(0).

 

 

Рис.12.2. Переходный процесс при разряде конденсатора С на активное сопротивление R.

Изменение напряжения на конденсаторе в процессе его разряда на активное сопротивление R в соответствии с формулой (12.4) показано на рис.12.2.

Ток, протекающий через конденсатор, определим, применяя формулу (12.1):

.             (12.5)

Знак «минус» в формуле (12.5) показывает, что ток идет в направлении, противоположном показанному на рис.12.1, т.е. в направлении, противоположном напряжению на конденсаторе. Это значит, что идет процесс разряда конденсатора и он теряет заряд.

Скорость уменьшения напряжения на конденсаторе определяется постоянной времени . Чем больше значения R и C, тем медленнее уменьшается напряжение. Зная напряжение на конденсаторе u_C(0 при t=0 и u_c( t_p) через известный промежуток времени t_p, можно при известном сопротивлении R определить емкость С конденсатора из соотношения:

.                                           (12.6)

Преобразуем выражение (12.6):

.                                                  (12.7)

Логарифмируя выражение (12.7), получим

.                                     (12.8)

Следовательно,

.                                   (12.9)

Значение   и t_Р определяются в лабораторной работе по осциллограмме (рис. 12.2).

 

 

Рис.12.3. Электрическая схема заряда конденсатора и разряда его на активно-индуктивную нагрузку.

При разряде конденсатора С на активно-индуктивную нагрузку R, L (переключатель П на рис.12.3 находится в положении 2) уравнение переходного процесса, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется:

.                    (12.10)

Дифференцируя уравнение (12.10)и разделив все члены этого уравнения на L, получим:

                               (12.11)

Как видно, переходный процесс при разряде конденсатора на активно-индуктивную нагрузку описывается дифференциальным уравнением второго порядка, так как в схеме имеются два накопителя энергии: конденсатор и катушка индуктивности. Полное решение дифференциального уравнения (12.11) имеет вид:

.             (12..12)

Здесь:  - установившееся значение напряжения на конденсаторе при  (частное решение дифференциального уравнения (12.11)); оно как и ранее равно нулю;

- свободная составляющая напряжения на конденсаторе (общее решение дифференциального уравнения (12.11));

А₁ и А₂  - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий;

р₁ и р₂ – корни характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (12.11) имеет вид:

.                                  (12.13)

Корни характеристического уравнения (12.13) равны:

,         (12.14)

  .           (12.15) 

Здесь:   - коэффициент затухания, с^-1;

- резонансная угловая частота цепи, с^-1.

Характер переходного процесса зависит от соотношения между  и , т. е. от величин параметров R,L и C. Очевидно, что возможны три случая.

1. Если > 1/LC или r > , то р₁ и р₂ – отрицательные вещественные числа, причем  и в этом случае процесс носит апериодический характер.

2. Предельный случай апериодического разряда возможен при соотношении:

 r=  = R_кр.                             (12.16)

 Сопротивление R_кр называется критическим. В этом случае .

3. Если r < , то выражение под корнем отрицательное и корни характеристического уравнения – комплексные сопряженные:

,                                       (12.17)

.                                       (12.18)

Здесь   - угловая частота собственных или свободных колебаний контура. Переходный процесс в этом случае носит колебательный характер (рис.12.4). Период собственных колебаний контура :

.                                                 (12.19)

 

 

Рис.12.4. Переходный процесс при разряде конденсатора на активно-индуктивное сопротивление r,L.

Рассмотрим, как найти постоянные интегрирования А₁ и А₂, входящие в уравнение (12.12). Для нахождения двух неизвестных величин необходимо иметь два уравнения.  В качестве первого уравнения используем уравнение (12.12) для напряжения на конденсаторе, а в качестве второго – уравнение для тока в конденсаторе. Ток в конденсаторе найдем, применяя соотношение (12.1):

.                         (12.20)

На основании законов коммутации сформулируем начальные условия (НУ):t=0, u_C= u_C(0), i=0. Подставив НУ в уравнения (12.12) и (12.20) и, учитывая, что , получим:

,                                                (12.21)

.                                               (12.22)

В матричной форме:

.                                   (12.23)

Решая систему (12.23), определим постоянные интегрирования А₁ и А₂:

, .                         (12.24)

При вещественных неравных корнях напряжение на конденсаторе будет изменяться по закону:

. (12.25)

Как видно из формулы (12.25), напряжение на конденсаторе есть разность двух экспонент.

Если корни характеристического уравнения будут равные

, то числитель и знаменатель выражения (12.25) обращаются в ноль и получается неопределенность вида . Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя:

,

или, учитывая, что , получим:

.                          (12.26)

При комплексных корнях постоянные времени будут выражаться следующим образом:

 и .            (12.27)

Подставим значения постоянных интегрирования из уравнений (12.27) в уравнение (12.12) и после преобразования будем иметь:

. (12.28)

Применяя формулы Эйлера:  и , получим:

.            (12.29)

Через время Т₁, когда   и , а , напряжение на конденсаторе будет равно

,                                    (12.30)

или

.                                            (12.31)

Коэффициент  называют декрементом колебаний, а  - логарифмическим декрементом колебаний. Логарифмируя выражение (12.31), получим:

.                                                         (12.32)

Следовательно:

.                                                   (12.33)

Зная u_C(0), u _C(Т₁) и Т₁ из осциллограммы (рис.12.4) можно, пользуясь формулой (12.33) определить d  и сравнить с расчетной величиной.

.

Отметим, что если  и , то колебания не затухают. Период незатухающих колебаний выражается формулой Томсона: .