П. Метод касательных (Ньютона).

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

П. Общий вид нелинейного уравнения

F(x)=0

Нелинейные уравнения могут быть двух видов:

1. Алгебраические
a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +… + a₀ = 0

2. Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом тригонометрической, логарифмической или показательной функции.

 

Значение х₀ при котором существует равенство f(x₀)=0 называется корнем уравнения.

В общем случае для произвольной F(x) не существует аналитических формул определения корней уравнения. Поэтому большое значение имеют методы, которые позволяют определить значение корня с заданной точностью. Процесс отыскания корней делиться на два этапа:

1. Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень.

2. Уточнение корня с заданной точностью.

Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами.

Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами, суть которых в том, что строится числовая последовательность x_i сходящихся к корню x₀

Выходом из итерационного процесса являются условия:

1. │f(x_n)│≤ε

2. │x_n-x_n-1│≤ε

рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и касательных.

 

 

П. Метод половинного деления.

Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε, если известно, что f(a)*f(b)<0

 

Суть метода

Данный отрезок [a,b] делится пополам, т.е. определяется x₀=(a+b)/2, получается два отрезка [a,x₀] и [x₀,b], далее выполняется проверка знака на концах, полученных отрезков для отрезка, имеющего условия f(a)*f(x₀)≤0 или f(x₀)*f(b)≤0 снова проводится деление пополам координатой х, снова   выделение нового отрезка и так продолжается процесс до тех пор              пока │x_n-x_n-1│≤ε

 

 

Приведем ГСА для данного метода

 

 

3п. Метод итерации.

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ε.

 

Суть метода

Дано f(x)=0 (1)

Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=φ(x) (2). Выберем грубое, приближенное значение x₀ , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть уравнения (2), получим:

x₁= φ(x₀) (3) , далее подставим х₁ в правую часть уравнения (3) получим:
x₂= φ(x₁) (4)
x₃= φ(x₂) (5)

Проделаем данный процесс n раз получим x_n=φ(x_n-1)

Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел

x^* =lim x_n , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.

Выражение (5) запишем как x^*= φ(x^*) (6)
Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо рассмотреть в каких случаях последовательность х₁…х_n является сходящейся.
Условием сходимости является если во всех токах x принадлежит [a,b] выполняется условие: 

Приведем ГСА для метода итерации:

 

 

п. Метод касательных (Ньютона).

Дана непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на отрезке [a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x) f``(x). Определить корень с точностью ε.

 

Суть метода

1. Выбираем грубое приближение корня х₀ (либо точку a, либо b)

2. Наити значение функции точке х₀ и провести касательную до пересечения с осью абсцисс, получим значение х₁

3.

Определить значение функции в точке х₁, через эту точку провести касательную получим точку х₂

4.

Повторим процесс n раз

Если процесс сходящийся то x_n  можно принять за искомое значение корня
Условиями сходимости являются:

│f(x_n)│≤ε

│x_n-x_n-1│≤ε