Теорема о непрерывности, произведения частного функций в точке (формулировка, доказательство).

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях (с доказательством одной из них).

Сравнение бесконечно малых функций:

1. Функция  называется бесконечно малой при (или в точке х=а), если

Пример. Функция яляется бесконечно малой при , так как

2. Бесконечно малые функции одного порядка

Функции  и  называются бесконечно малыми одного порядка малости при , если 

3. Бесконечно малые функции более низкого и высокого порядков

Если , то  является бесконечно малой более высокого порядка при , чем , а  – бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с  :  при

4. Если , то  – бесконечно малая низшего порядка малости при  по сравнению с

5. Если ,  то  называется бесконечно малой порядка k по сравнению с  при

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции  и  называются эквивалентными или равносильными бесконечно малой одного порядка при .

Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях:

1. Для того, чтобы две бесконечно малые функции  и  были эквивалентны необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой более высокого порядка малости, чем каждая из них:

2. Предел отношения двух бесконечно малых не изменяется, если любую из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Дано:

      

Доказать:

Доказательство.

 

 

Приращение аргумента и приращение функции, их геометрическая иллюстрация. Два равносильных определения функции.

 – приращение (изменение) независимой переменной.

 – приращение функции в точке , соответствует приращению .

Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции .

    ( )

Функция  называется непрерывной в точке , если существует предел  и этот предел равен значению  функции в точке .

 

y

x

y=f(x)

Непрерывность основных элементарных функций.

Каждая элементарная функция непрерывна в каждой точке, где она определена.

 

 

Определение непрерывности функции в точке.

I.

определена в т.

y=f(x)

x

y

Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке некоторой ее окрестности, существует предел функции  при  и это предел равен значению функции в точке .

II.

y

x

( )

Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции

 

Теорема о непрерывности, произведения частного функций в точке (формулировка, доказательство).

Теорема.

Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций – непрерывны.

Доказательство:

Пусть . Тогда, по теореме о пределе произведения:

 

 

Теорема:

Пусть функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке                  . Тогда сложная функция , состоящая их непрерывных функций, непрерывна в точке .

Доказательство:

Так как  – непрерывна, то , то есть при  имеем . Поэтому (так как  – непрерывна) имеем:

 

 

9. Определение производной. Определение касательной и нормали к кривой. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику  в данной точке (с обоснованием).

Производной  функции  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении его к нулю.

Таким образом, по определению

Касательная к графику функции  в некоторой его точке , для которой , есть прямая, проходящая через эту точку и имеющая угловой коэффициент кас, равный .

Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через эту точку касания перпендикулярно касательной.

кас

н

с

нормаль

касательная

н

Геометрический смысл производной

Значение производной в точке  равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

 

 

10. Таблица производных элементарных функций. Вывод производных для , , , .

 

Теорема 1. Производная синуса равна косинусу: Доказательство. Пусть аргумент х получил приращение . Тогда функция получит приращение Воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами предела функции, получаем Теорема доказана.

Теорема 2. Производная тангенса:   Доказательство.   Теорема доказана

 

 

Теорема 3. Производная :

Доказательство. Найдем сначала приращение функции в точке :

Находим:

 т. е. при любом .

 

Теорема доказана

 

 

Теорема 4. Производная :

Доказательство.

 

Теорема доказана