Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений
Собственные колебания пластин Выполнила: студентка V курса математического факультета Чураева Анна Сергеевна Научный руководитель: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ С.А. Фалелеева Рецензент: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Л.В. Ончукова
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии «___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина «___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров 2005 Содержание Введение........................................................................................................... 3 Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений.................................................................................................... 4 1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия..................... 4 1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье................................... 6 1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами......................................................................................... 8 Глава II Нахождение функций, описывающих собственные колебания мембран 11 2.1 Основные определения............................................................................ 11 2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны.............................. 12 2.3 Собственные колебания круглой мембраны.......................................... 19 Заключение.................................................................................................... 28 Библиографический список........................................................................... 29 Приложение................................................................................................... 30 Введение Математическая физика ставит своей задачей возможно более точное изучение явлений природы. С этой целью она использует аппарат математики. Объектом изучения математической физики могут служить только те явления природы, которые поддаются измерению. Например, механическое движение, звук, теплота, свет и т. д. Цели работы: Изучить математическую литературу по данной теме. 2. Освоить основные методы решения задач математической физики и применить их к решению задач. Задачи работы: 1. Решить двумерное уравнение колебаний мембраны при дополнительных условиях для прямоугольной и круглой мембраны. 2. Сравнить полученные результаты для обоих случаев с аналогичными задачами, решенными для других дополнительных условий. Методы работы: · Изучение специальной литературы; · Решение задач.
Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. Дифференциальным уравнением с частными производными называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких переменных, независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Решением уравнения с частными производными называется функция, обращающая это уравнение в тождество [4]. 1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесконечное множество решений. Поэтому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо задать некоторые дополнительные условия. В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определяется начальными условиями, например, заданием значений функции и ее первой производной при «начальном» значении аргумента. Для уравнения с частными производными возможны различные формы дополнительных условий. Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под струной понимаем тонкую упругую нить). Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать компоненты вектора смещения точки x в момент t . Тогда будет задавать отклонение струны от оси абсцисс.
, . Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:
. Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий, где и – заданные функции точки.
, , где и - заданные функции времени t. Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией. В точке подвеса x =0 отклонение ; на свободном конце x = l натяжение пружины равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка условия свободного конца имеет вид . Если конец x =0 движется по определенному закону , а при x = l задана сила , то . Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x = l или , при котором конец x = l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение. Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается, и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие принимает вид . Условие упругого закрепления при x =0 имеет вид . Таким образом, имеют место три основных типа граничных условий, например, при x =0: § граничные условия 1-го рода - заданный режим, § граничное условие 2-го рода - заданная сила, § граничное условие 3-го рода - упругое закрепление. Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x = l . Если функция, задаваемая в правой части ( или ), равны нулю, то граничные условия называются однородными [8]. 1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье. Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую для t >0 уравнению
в области D и дополнительным начальным и граничным условиям, где дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка. Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиальные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным условиям, в классе функций вида (где непрерывны в , непрерывны в ). Подставляя функцию в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на , получаем . Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция удовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех ) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе .
,
причем функция должна удовлетворять граничным условиям. Соответствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные решения не при всех значениях . Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие им решения уравнения (1.2.3) – собственными функциями краевой задачи. Суть метода Фурье: ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только граничным условиям, среди функций вида . Для функции получаем краевую задачу; решаем краевую задачу для функции . Пусть суть собственные функции этой задачи, а - отвечающие им собственные значения; для каждого собственного значения находим решение уравнения (1.2.3); таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетворяющим только граничному условию, являются функции вида ; возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям .Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2]. 1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение
является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициентом при старшей производной равным единице, а . Рассмотрим решение уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях. В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений. Покажем, что выражение
где – действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению. Продифференцируем по x выражение (1.3.2): . Подставляем полученные выражения в (1.3.1):
Обозначим через - это есть характеристический многочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде . Характеристический многочлен получается из оператора L [ y ], если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины : на .
. Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень характеристического уравнения (1.3.4), то , т.е. будет решением дифференциального уравнения (1.3.1). Уравнение (1.3.4) – уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1). Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет , где - произвольные постоянные, а - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6].
. Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, т.е. . Общим решением уравнения (1.3.1) будет
Если предположить, что характеристическое уравнение имеет равные корни , то одно частное решение будет иметь вид . Второе частное решение будет . Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно представить в виде
Глава II Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны 2.1 Основные определения В этой главе использованы следующие обозначения · - частная производная функции по ; · - производная функция одной переменной. Мембраной называется плоская пластинка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию , которая зависит от координат точки ( x , y ) и от времени t. Вывод дифференциальных уравнений задач математической физики сопровождается целым рядом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных
В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугольной мембраны . В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к полярным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса с центром в начале координат. Введем полярные координаты , . Уравнение границы круга будет при этом . Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат и и времени t: . Выражение для оператора в полярных координатах имеет вид , Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде
В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функций в следующем виде: Система функций называется ортогональной на интервале , если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нолю: ( ). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом содержится множитель , в таких случаях говорят об ортогональности с весом [1]. 2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением
Пусть в плоскости ( x , y ) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b1 и b2, закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости. Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях
и граничных условиях
. Краткое решение задачи (2.2.1) – (2.2.3) приведено в книге [8], где были получены следующие результаты. Функция имеет вид , где - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой . А коэффициенты и равны: , . Найдем решение задачи при других граничных условиях. Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях
и граничных условиях
.
. Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных ( x , y ), а левая – только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .
где - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.
, а для функции следующую краевую задачу:
Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть
. Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая – только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно . Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка: 1. 2. где и - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для и вытекают из соответствующих условий для функции . , , , . Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения: (2.2.11) (2.2.12) - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра отрицателен, равен нулю, положителен. 1) При задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения имеет вид , т. к. характеристическое уравнение имеет корни . Учитывая граничные условия, получаем: т.к. - действительно и положительно, то . 2) При нетривиальных решений тоже не существует. 3) При общее решение уравнения имеет вид . Учитывая граничные условия, получаем: , т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид . Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице. Аналогично получаем решение задачи (2.2.12): Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции , где - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций с весом единица была равна единице . Вычислим отдельно интегралы в равенстве:
. Число собственных функций, принадлежащих зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения . Собственным значениям соответствуют решения уравнения : , где и - произвольные константы. Возвращаясь к начальной задаче для уравнения с дополнительными условиями (2.2.4) – (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид . Тогда общее решение запишется в виде , где определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты и равны: , . В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий. 2.3 Собственные колебания круглой мембраны Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных граничных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембраны.
. Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях
. Применим метод разделения переменных. Пусть . Подставляем полученное выражение для функции в уравнение (2.3.1), получаем: .
. Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции ,
, и следующую задачу на собственные значения для функции :
К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции . Пусть , подставляем в уравнение для функции . Поделим данное равенство на : Так как левая часть соотношения ( ) функция только переменной r, а правая ( ) - только переменной , то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно . При данном предположении получаем: 1) однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции : Нетривиальные периодические решения для существуют лишь при и имеют вид (см. 2.2): . 2) уравнение для определения функции
Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях. Введем новую переменную
2019-10-11 |
230 |
Обсуждений (0) |
|
5.00
из
|
|
Обсуждение в статье: Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы