Решение дифференциального уравнения интерполяционным методом Адамса

 

 

Так как ДУ заданной системы имеет третий порядок, то его необходимо свести к системе уравнений, каждое из которых должно иметь первый порядок, т.е. имеет место нормальная форма Коши:

 

 

Запишем нормальную форму Коши в следующем виде:

 

 

Приведём уравнение к нормальной форме Коши:

 

         

 

Интерполяционный метод Адамса 3:

 

, точность

 

Для того, чтобы использовать этот неявный метод, нужно знать

Получим  методом Эйлера:  точность

Для получения точности  на первом шаге, возьмем

Текст программы находится в приложении 2.

Результаты работы программы при h равных 0.5, 0.2, 0.01 приведены на рис. 9.

 

Рис. 9. Отклики на единичное ступенчатое воздействие

 

Синтез

 

Введем в прямую цепь ПИД регулятор, а в обратную ПД.

Вид скорректированной системы приведен на рис. 10.

 

Рис.10. Структурная схема скорректированной системы

 

     

 

Найдем передаточную функцию системы

Передаточная функция разомкнутой цепи имеет вид:

 

 

 Передаточная функция разомкнутой цепи имеет вид:

 

 

Для решения задачи синтеза необходимо найти параметра регулятора, при которых реальный выходной сигнал, являющийся реакцией на единичное ступенчатое воздействие, будет близок к заданному эталонному сигналу.

В качестве эталонного выходного сигнала используем следующий сигнал:

 

,

 

Коэффициент находим по следующей формуле:

 

 

Найдем параметры регулятора методом квадратичной аппроксимации.

Рабочая формула метода имеет вид:

 

 

Где,

 градиент функции.

матрица Гессе функции

 находим с помощью метода Золотого сечения.

Текст программы находится в приложении 3.

Результат работы программы приведен на рис. 11.

 

Рис. 11. Пример получения коэффициентов регулятора.

 

Переходная функция скорректированной системы изображена на рис. 12.

Время управления скорректированной системы  исходя из графика примерно равно 2.4с.

Рис. 12. Сравнение эталонной и реальной переходных функций

 

Вывод

 

В данной курсовой работе был синтезирован регулятор САУ, найдены его параметры численным методом. Также было решено дифференциальное уравнение неявным численным методом.

 

Список литературы

 

1. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти т.; 2-е изд., перераб. и доп. Т.3: Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под редакцией К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 616с.; ил.

 

2. Н.Д. Егупов, Ю.П. Корнюшин, Ю.И. Мышляев. Учебное пособие по выполнению курсового проектирования по дисциплине «Системы аналитических вычислений» для студентов специальности 160403 «Системы управления летательными аппаратами»

 

Приложение 1

Метод градиентов

function M_Gradientov

clc

% Решим уравнение s^3+7,4*s^2+19*s+10=0

e=10^-4;

s=0;

A1=1;

A2=7.4;

A3=19;

A4=10;

r0=1;

i=0; %количество итераций

while abs(r0)>e

i=i+1;

s0=s;

r0=A1*s^3+A2*s^2+A3*s+A4; %невязка

Ar=(A1+A2+A3)*r0;

AAr=(A1^2+A2^2+A3^3)*r0;

m=r0*AAr/AAr^2;

s=s0-m*Ar;

end

S1=s; % Нашли вешественный корень

Теперь решаем уранение: A1*s^2+(A2+A1*S1)*s+(A3+A2*S1+A1*s^2)=0

% Корни комплексные

D=(A2+A1*S1)^2-4*A1*(A3+A2*S1+A1*s^2);

S2=(-(A2+A1*S1)+sqrt(D))/2*A1;

S3=(-(A2+A1*S1)-sqrt(D))/2*A1;

disp(S1);

disp(S2);

disp(S3);

disp('Количество итераций'); disp(i);

 

Приложение 2

 

Интерполяционный метод Адамса

function Int_Adams_3

clc

%время переходного процесса

T=10;

%-----------------%

%матрица А (X'=AX+BY)

A=[0 1 0;

 0 0 1;

 -10 -19 -7.4];

%матрица B

B=[0 5 10]';

Y=[0 0 1]';

k=1;

%начальные условия

X(1,1:3)=[0 0 0];

I=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];

while(k<=3)

 %шаг

 if(k==1) h=0.1; end;

 if(k==2) h=1; end;

 if(k==3) h=0.01; end;

%---------------------------%

n=1;

F(1,1:3)=(A*(X(1,1:3))'+B.*Y)';

X(n+1,1:3)=(X(n,1:3)'+h/10*(F(n,1:3))')';% Метод Эйлера

n=n+1;

while (n<=T/h)

F(n,1:3)=(A*(X(n,1:3))'+B.*Y)';

X(n+1,1:3)=(((I-5*h/12*A)^-1)*(X(n,1:3)'+h/12*(5*B.*Y+8*(F(n,1:3))'-(F(n-1,1:3))')))';

 n=n+1;

end

 t=0:h:10;

 %k=t/h+1;

 i=1;

 while(i<=n)

 if(k==1) t1=t; x1(i)=X(i,1); Xa1=1-0.9202*exp(-0.6983*t)-0.4636*exp(-3.3508*t).*cos(1.7584*t+4.382)+0.2433*exp(-3.3508*t).*sin(1.7584*t+4.382); end;

 if(k==2) t2=t; x2(i)=X(i,1); Xa2=1-0.9202*exp(-0.6983*t)-0.4636*exp(-3.3508*t).*cos(1.7584*t+4.382)+0.2433*exp(-3.3508*t).*sin(1.7584*t+4.382); end;

 if(k==3) t3=t; x3(i)=X(i,1); Xa3=1-0.9202*exp(-0.6983*t)-0.4636*exp(-3.3508*t).*cos(1.7584*t+4.382)+0.2433*exp(-3.3508*t).*sin(1.7584*t+4.382);

end;

 i=i+1;

 end

 k=k+1;

end

t=0:0.01:10;

Xa=1-0.9202*exp(-0.6983*t)-0.4636*exp(-3.3508*t).*cos(1.7584*t+4.382)+0.2433*exp(-3.3508*t).*sin(1.7584*t+4.382);

plot(t,Xa,t1,x1,t1,(Xa1-x1),t2,x2,t2,(Xa2-x2),t3,x3,t3,(Xa3-x3)),grid on

Приложение3

 

Оптимизация методом квадратичной аппроксимации

function minK

%зададим точность и шаг

eps=0.1;

h=0.1;

%определим матрицу K=[Kp,Kd,Ki,Kp2,Kd2]';

T=4;

K0=[26 6 50 1 0.2]';

%Найдем J0

J0=Xr5(26, 6, 50, 1 ,0.2,T);

%------------------------

%Ищем матрицу G

a=Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4),K0(5),T);

g11=(Xr5(K0(1)+2*h,K0(2),K0(3),K0(4),K0(5),T)-2*Xr5(K0(1)+h,K0(2),K0(3),K0(4),K0(5),T)+a)/h^2;

g12=(Xr5(K0(1)+h,K0(2)+h,K0(3),K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1)+h,K0(2),K0(3),K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2)+h,K0(3),K0(4),K0(5),T)+a)/h^2;

g21=g12;

g13=(Xr5(K0(1)+h,K0(2),K0(3)+h,K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1)+h,K0(2),K0(3),K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3)+h,K0(4),K0(5),T)+a)/h^2;

g31=g13;

g14=(Xr5(K0(1)+h,K0(2),K0(3),K0(4)+h,K0(5),T)-Xr5(K0(1)+h,K0(2),K0(3),K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4)+h,K0(5),T)+a)/h^2;

g41=g14;

g15=(Xr5(K0(1)+h,K0(2),K0(3),K0(4),K0(5)+h,T)-Xr5(K0(1)+h,K0(2),K0(3),K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4),K0(5)+h,T)+a)/h^2;

g51=g15;

g22=(Xr5(K0(1),K0(2)+2*h,K0(3),K0(4),K0(5),T)-2*Xr5(K0(1),K0(2)+h,K0(3),K0(4),K0(5),T)+a)/h^2;

g23=(Xr5(K0(1),K0(2)+h,K0(3)+h,K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2)+h,K0(3),K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3)+h,K0(4),K0(5),T)+a)/h^2;

g32=g23;

g24=(Xr5(K0(1),K0(2)+h,K0(3),K0(4)+h,K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2)+h,K0(3),K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4)+h,K0(5),T)+a)/h^2;

g42=g24;

g25=(Xr5(K0(1),K0(2)+h,K0(3),K0(4),K0(5)+h,T)-Xr5(K0(1),K0(2)+h,K0(3),K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4),K0(5)+h,T)+a)/h^2;

g52=g25;

g33=(Xr5(K0(1),K0(2),K0(3)+2*h,K0(4),K0(5),T)-2*Xr5(K0(1),K0(2),K0(3)+h,K0(4),K0(5),T)+a)/h^2;

g34=(Xr5(K0(1),K0(2),K0(3)+h,K0(4)+h,K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3)+h,K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4)+h,K0(5),T)+a)/h^2;

g43=g34;

g35=(Xr5(K0(1),K0(2),K0(3)+h,K0(4),K0(5)+h,T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3)+h,K0(4),K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4),K0(5)+h,T)+a)/h^2;

g53=g35;

g44=(Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4)+2*h,K0(5),T)-2*Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4)+h,K0(5),T)+a)/h^2;

g45=(Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4)+h,K0(5)+h,T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4)+h,K0(5),T)-Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4),K0(5)+h,T)+a)/h^2;

g54=g45;

g55=(Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4),K0(5)+2*h,T)-2*Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4),K0(5)+h,T)+a)/h^2;

G=[g11, g12, g13, g14, g15; g21, g22, g23, g24, g25; g31, g32 ,g33, g34, g35; g41, g42 ,g43, g44, g45; g51, g52 ,g53, g54, g55;];

%G1=G.^-1;

G1=inv(G);

%построим градиент

gr1=(Xr5(K0(1)+h,K0(2),K0(3),K0(4),K0(5), T)-a)/h;

gr2=(Xr5(K0(1),K0(2)+h,K0(3),K0(4),K0(5), T)-a)/h;

gr3=(Xr5(K0(1),K0(2),K0(3)+h,K0(4),K0(5), T)-a)/h;

gr4=(Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4)+h,K0(5), T)-a)/h;

gr5=(Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4),K0(5)+h, T)-a)/h;

grad=[gr1 gr2 gr3 gr4 gr5]';

L=lambdamin(K0,G1,grad);

K=K0+L*G1*grad;

G10=G1;

grad0=grad;

J=Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5),T);

% квадратичная аппроксимация: X(i+1)=X(i)-L(i)G^-1(i)GRAD(x(i))

while (J0>J)

J0=J;

%Ищем матрицу G

a=Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5),T);

g11=(Xr5(K(1)+2*h,K(2),K(3),K(4),K(5),T)-2*Xr5(K(1)+h,K(2),K(3),K(4),K(5),T)+a)/h^2;

g12=(Xr5(K(1)+h,K(2)+h,K(3),K(4),K(5),T)-Xr5(K(1)+h,K(2),K(3),K(4),K(5),T)-Xr5(K(1),K(2)+h,K(3),K(4),K(5),T)+a)/h^2;

g21=g12;

g13=(Xr5(K(1)+h,K(2),K(3)+h,K(4),K(5),T)-Xr5(K(1)+h,K(2),K(3),K(4),K(5),T)-Xr5(K(1),K(2),K(3)+h,K(4),K(5),T)+a)/h^2;

g31=g13;

g14=(Xr5(K(1)+h,K(2),K(3),K(4)+h,K(5),T)-Xr5(K(1)+h,K(2),K(3),K(4),K(5),T)-Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4)+h,K(5),T)+a)/h^2;

g41=g14;

g15=(Xr5(K(1)+h,K(2),K(3),K(4),K(5)+h,T)-Xr5(K(1)+h,K(2),K(3),K(4),K(5),T)-Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5)+h,T)+a)/h^2;

g51=g15;

g22=(Xr5(K(1),K(2)+2*h,K(3),K(4),K(5),T)-2*Xr5(K(1),K(2)+h,K(3),K(4),K(5),T)+a)/h^2;

g23=(Xr5(K(1),K(2)+h,K(3)+h,K(4),K(5),T)-Xr5(K(1),K(2)+h,K(3),K(4),K(5),T)-Xr5(K(1),K(2),K(3)+h,K(4),K(5),T)+a)/h^2;

g32=g23;

g24=(Xr5(K(1),K(2)+h,K(3),K(4)+h,K(5),T)-Xr5(K(1),K(2)+h,K(3),K(4),K(5),T)-Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4)+h,K(5),T)+a)/h^2;

g42=g24;

g25=(Xr5(K(1),K(2)+h,K(3),K(4),K(5)+h,T)-Xr5(K(1),K(2)+h,K(3),K(4),K(5),T)-Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5)+h,T)+a)/h^2;

g52=g25;

g33=(Xr5(K(1),K(2),K(3)+2*h,K(4),K(5),T)-2*Xr5(K(1),K(2),K(3)+h,K(4),K(5),T)+a)/h^2;

g34=(Xr5(K(1),K(2),K(3)+h,K(4)+h,K(5),T)-Xr5(K(1),K(2),K(3)+h,K(4),K(5),T)-Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4)+h,K(5),T)+a)/h^2;

g43=g34;

g35=(Xr5(K(1),K(2),K(3)+h,K(4),K(5)+h,T)-Xr5(K(1),K(2),K(3)+h,K(4),K(5),T)-Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5)+h,T)+a)/h^2;

g53=g35;

g44=(Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4)+2*h,K(5),T)-2*Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4)+h,K(5),T)+a)/h^2;

g45=(Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4)+h,K(5)+h,T)-Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4)+h,K(5),T)-Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5)+h,T)+a)/h^2;

g54=g45;

g55=(Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5)+2*h,T)-2*Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5)+h,T)+a)/h^2;

G=[g11, g12, g13, g14, g15; g21, g22, g23, g24, g25; g31, g32 ,g33, g34, g35; g41, g42 ,g43, g44, g45; g51, g52 ,g53, g54, g55;];

%G1=G.^-1;

G1=inv(G);

%построение градиента

gr1=(Xr5(K(1)+h,K(2),K(3),K(4),K(5), T)-a)/h;

gr2=(Xr5(K(1),K(2)+h,K(3),K(4),K(5), T)-a)/h;

gr3=(Xr5(K(1),K(2),K(3)+h,K(4),K(5), T)-a)/h;

gr4=(Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4)+h,K(5), T)-a)/h;

gr5=(Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5)+h, T)-a)/h;

grad=[gr1 gr2 gr3 gr4 gr5]';

if(Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5),T)>Xr5(K0(1),K0(2),K0(3),K0(4),K0(5),T))

L=lambdamin(K0,G10,grad0);

end

K0=K;

G10=G1;

grad0=grad;

K=K0+L*G1*grad;

J=Xr5(K(1),K(2),K(3),K(4),K(5),T);

end

disp(K0);

disp(J0);

Метод Золотого Сечения

function L=lambdamin(K,G1,grad)

Xzs=(-1+sqrt(5))/2; %золотое сечение

a=0;

b=1;

while (abs(b-a) >0.01)

 x1=a+(b-a)*Xzs;

 x2=b-(b-a)*Xzs;

F1=K-x1*G1*grad;

 F2=K-x2*G1*grad;

 if ((x1 < x2)&&(Xr5(F1(1),F1(2),F1(3),F1(4),F1(5),2) <= Xr5(F2(1),F2(2),F2(3),F2(4),F2(5),2)))

 b=x2;

 end

 if ((x1 > x2)&&(Xr5(F1(1),F1(2),F1(3),F1(4),F1(5),2) <= Xr5(F2(1),F2(2),F2(3),F2(4),F2(5),2)))

 a=x2;

 end

 if ((x1 < x2)&&(Xr5(F1(1),F1(2),F1(3),F1(4),F1(5),2) > Xr5(F2(1),F2(2),F2(3),F2(4),F2(5),2)))

 a=x1;

 end

 if ((x1 > x2)&&(Xr5(F1(1),F1(2),F1(3),F1(4),F1(5),2) > Xr5(F2(1),F2(2),F2(3),F2(4),F2(5),2)))

 b=x1;

 end

end

L=abs((x2-x1)/2);

Построение эталонного и реального выходного сигнала, поиск значения функционала.

function J=Xr5(Kp,Kd,Ki,Kp2,Kd2,t)

%коэффициенты ДУ

a4=1;

a3=(7.4+5*Kd*Kp2+5*Kp*Kd2+10*Kd*Kd2)/(1+5*Kd*Kd2);

a2=(14+5*Kp*Kp2+10*Kp2*Kd+10*Kd2*Kp+5*Ki*Kd2)/(1+5*Kd*Kd2);

a1=(10*Kp*Kp2+10*Ki*Kd2+5*Kp2*Ki)/(1+5*Kd*Kd2);

a0=(10*Ki*Kp2)/(1+5*Kd*Kd2);

b3=5*Kd/(1+5*Kd*Kd2);

b2=(5*Kp+10*Kd)/(1+5*Kd*Kd2);

b1=(10*Kp+5*Ki)/(1+5*Kd*Kd2);

b0=10*Ki/(1+5*Kd*Kd2);

%шаг

h=0.01;

%начальные условия

X(1,1:4)=[0 0 0 0];

%матрица А (X'=AX+BY)

A=[0 1 0 0;

 0 0 1 0;

 0 0 0 1;

 -a0 -a1 -a2 -a3];

%матрица B

B=[b3 b2 b1 b0]';

Y=[0 0 0 1]';

n=1;

k=1;

while(k<=10)

F(n,1:4)=(A*(X(n,1:4))'+B.*Y)';

X(n+1,1:4)=(X(n,1:4)'+h/10*(F(n,1:4))')';% Метод Эйлера

n=n+1;

k=k+1;

end

X(2,1:4)=X(n,1:4);

n=2;

I=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];

while (n<=t/h)

 F(n,1:4)=(A*(X(n,1:4))'+B.*Y)';

 X(n+1,1:4)=(((I-5*h/12*A)^-1)*(X(n,1:4)'+h/12*(5*B.*Y+8*(F(n,1:4))'-(F(n-1,1:4))')))';

 n=n+1;

end

i=1;

while(i<=n)

 Xr(i)=X(i,1);

 i=i+1;

end

%Найдем J0____________

i=0;

while(i<=t/h)

 Xe(i+1)=1-exp((log(0.05)/2)*i*h);

 i=i+1;

end

%нашли эталон

J=0;

i=1;

while(i<=t/h)

 J=J+(Xr(i)-Xe(i))^2;

 i=i+1;

end

%t=0:0.01:t;

%plot(t,Xr,t,Xe),grid on