Глава 2. Приложения символа О.

Асимптотическое решение трансцендентных уравнений: действительного переменного

Пример 1.

Рассмотрим уравнение

x +th x = u,

где u - действительный параметр,  - гиперболический тангенс [6], , х и th x – непрерывные, строго возрастающие функции на всей числовой прямой.

Найдем асимптотические приближения для корня:

1). Функция u(x) = x + th x непрерывна и строго монотонна на R. По теореме о непрерывности обратной функции, существует обратная к ней функция х(и), непрерывная и строго монотонная на Е_и = R.

Так как при х®¥ и(х)®¥, то при и®¥ х(и)®¥.

Пусть и®¥, тогда х®¥ и .

Значит, х(и) ~ и, при и®¥. Это первое асимптотическое приближение для корня.

2). Приведем уравнение к виду:

x = и - th x.

+С, где С – некоторая константа. По определению символа О thx = 1+O(1).

x = и – 1 + О(1) - это второе асимптотическое приближение корня.

3). Докажем, что е^-2х = О(е^-2и):                                        (2.1.1)

подставим второе асимптотическое приближение корня

е^-2х = е^{-2(и – 1 + О(1))} = е^-2и × е² × е^О(1) = (по 1.2.3 и 1.2.9) = е²О(е^-2и) (1 + О(1))×=

(по 1.2.3) = е²О(е^-2и) (2О(1)) = (по 1.2.6 и 1.2.4) = О(е^-2и).

Разложим th x в ряд [6], удобный при больших х:

th x = 1 – 2е^-2х + 2е^-4х – 2е^-6х +…         (х > 0)

Тогда по теореме [3]:                                                      (2.1.2)

если ряд  сходится при , тогда для фиксированного n  в любом круге , где .

Ряд – 2е^-2х + 2е^-4х – 2е^-6х +… сходится при х > 0, т.е.  и его сумма равна th x - 1. Значит, по теореме: th x - 1 = О(е^-2х), т.е.
th x=О(е^-2х)+1.

Тогда x = и - th x = и – 1 + О(е^-2х) = (по 2.1.1) = и – 1 + О(О(е^-2и)) =

(по 1.2.5) = и – 1 + О(е^-2и).

Таким образом, x = и – 1 + О(е^-2и) - этот третье асимптотическое приближение корня.

4). Докажем, что е^-2х = е^-2и+2 + О(е^-4и):                             (2.1.3)

подставим третье асимптотическое приближение корня

(по 1.2.9)

(по 1.2.6)

(по 1.2.3 и 1.2.4) .

Ряд 2е^-4х – 2е^-6х + 2е^-8х – 2е^-10х +… сходится при х > 0, т.е.  и его сумма равна th x – 1 + 2е^-2х. Значит, по теореме: th x – 1 + 2е^-2х = О(е^-4х),
т.е. th x=О(е^-4х)+1 - 2е^-2х.

Тогда x = и - th x = и – 1 + 2е^-2х + О(е^-4х) = (по 2.1.3) =

= и – 1 + 2(е^-2и+2 + О(е^-4и)) + О(е^-4х) = (по 1.2.6) =

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) + О(е^-2х × е^-2х) = (по 2.1.1) =

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) + О(О(е^-2и) × О(е^-2и)) = (по 1.2.4) =

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) + О(О(е^-4и)) = (по 1.2.5) =

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) + О(е^-4и) = и – 1 + 2е^-2и+2 + 2О(е^-4и) = (по 1.2.6) =

= и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и).

Таким образом, x = и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) - этот четвертое асимптотическое приближение корня.

Продолжая этот процесс, получим последовательность приближений с ошибками, асимптотический порядок которых постоянно убывает. Сходимость этой последовательности при неограниченном возрастании числа шагов на основе проведенных рассуждений увидеть трудно, но численные возможности этого процесса можно оценить, взяв, например, и = 5:

1) х = 5;

2) х = и – 1 + О(1) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О(1))

3) x = и – 1 + О(е^-2и) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О(е^-2и))

4) x = и – 1 + 2е^-2и+2 + О(е^-4и) = 5 – 1 + 0,000670925… = 4,000670925... (не учитываем ошибку О(е^-4и))

Точное значение, полученное стандартными численными методами, равно 4,0006698…

Пример 2.

Найдем большие положительные корни уравнения

x tg x = 1

Это уравнение можно обратить следующим образом:

,

где n – целое число, а арктангенс принимает значения в интервале , находим, что x ~ n p при ( n → ¥).

Если x > 1, то [6]

1). По теореме (2.1.2) .

.

2).

По теореме (2.1.2) . Тогда .

.

3).

По теореме (2.1.2) . Тогда .

.

И так далее.