Геометрическая трактовка проекции.

Скалярная проекция гиперкомплексных чисел

Каратаев Е.А.

Введение.

При первой же попытке рассмотрения гиперкомплексных чисел в качестве основания для соответствующей геометрии возникает желание найти в гиперкомплексных числах аналоги геометрических понятий. И одной из первых трудностей становится поиск аналога скалярного произведения. Если в геометрии есть проекция отрезка, в векторной алгебре есть скалярное произведение, то чему же это понятие соответствует в гиперкомплексных числах?

Стремление к общности определения наталкивается на ряд понятий, которые оказались введены в классическом подходе в виде, как говорят студенты, “подгонки”. И скалярное произведение, и сопряжение, как оказалось, были введены в математику аксиоматически и теоремы, использоваашие их определение, естественным образом подтвердили их свойства, вытекающие однозначным образом из их определения.

Классическая форма (билинейная форма) была использована, например, в теореме Гурвица и тем самым было введено ограничение на набор рассматриваемых алгебр. Дальнейшие попытки развития теории гиперкомплексных алгебр пошли не по пути рассмотрения свойств алгебр, образующихся путем удвоения и использования этих свойств, а по пути рассмотрения алгебр над полями со все более глубокой их структуризацией.

Мне хотелось бы до конца выяснить вопрос - что является аналогом скалярного произведения в гиперкомплексных числах и, сравнив два подхода, выяснить, где находятся белые пятна классического подхода. И скромно предположить направление исследований, которое может дать, возможно, полезные в технике и физике результаты.

Скалярное же произведение в классической геометрии, определяемое в виде билинейной формы, к гиперкомплексным числам не подходит в общем случае, поскольку автоматически означает и требование билинейности квадрата модуля. А таким требованиям отвечает меньшая часть алгебр. Остальные имеют определение 4-й степени модуля в виде 4-х линейной формы, или, возможно, еще более высокого порядка.

В этой статье и предпринимается попытка отыскания формально общего определения скалярного произведения в форме, допускающей его применение к таким алгебрам с 4-х линейными формами.

Классический подход.

Возьмем на плоскости два вектора

Обозначим концы данных векторов соответственно через X и Y. Из формулы для расстояния между двумя точками имеем:

откуда следует

(1)

Из этого равенства, если учесть теорему Пифагора, легко увидеть, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности и является

Заметим, что если это же рассуждение применить к векторам не на плоскости, а в пространстве, то получим условие перпендикулярности в аналогичной форме:

Формула (1) наводит на мысль связать с каждой парой векторов и на плоскости число

(2)

а в пространстве - число

(2’)

Это число в геометрии называют скалярным произведением векторов и и обозначают (x,y). Заметим, что длина произвольного вектора x выражается через скалярное произведение. А именно, в случае плоскости

а в случае пространства

Вышеприведенный ход рассуждений взят из книги [1] и является своего рода образцом. Отмечу еще раз, что скалярное произведение вводится на основе теоремы Пифагора, а не наоборот, как иногда пытаются доказать ленивые студенты.

К основным свойствам скалярного произведения относят:

1) , причем (x,x) только при x = 0

2) (x,y) = (y,x)

3) (x,ky) = k(x,y) где k - любое действительное число

4) (x,y+z)=(x,y)+(x,z)

При любом обобщении, как пишут Кантор и Солодовников, понятия скалярного произведения на n - мерный случай желательно, чтобы свойства 1) - 4) сохранили силу. Ввиду этого примем следующее определение.

Определение. Будем говорить, что в n - мерном векторном пространстве A_n задано скалярное произведение, если каждым двум векторам x и y сопоставлено некоторое действительное число - обозначим его (x,y) - так, что выполнены свойства 1), 2), 3), 4). Число (x,y) будем называть скалярным произведением вектора x на вектор y.

В более общем виде скалярное произведение определяется как

где - базисные вектора.

Величины

являются постоянными числами, зависящими только от выбранного базиса. Таким образом, если выбран базис, то

Вышеприведенное классическое определение скалярного произведения сыграло в математике своего рода роль фундамента, причем весьма прочного и основательного. И к большому сожалению такой подход не дал результатов в финслеровых геометриях, когда величина вектора определяется не через билинейную форму, а через n - линейную.

Геометрическая трактовка проекции.

Для введения определения скалярного произведения в форме, допустимой к использованию, рассмотрим принцип формирования проекции и попробуем ее формализовать. Обратим внимание на обычные вектора в 2-х или 3-х мерном пространстве.

Проекцией назовем величину, равную расстоянию от начала координат до точки пересечения вектора A с перпендикуляром, построенным на него из точки B. Теперь представим себе, что пространство - это пространство компонент гиперкомплексного числа, и значит построить перпендикуляр мы пока не можем, поскольку это понятие еще не определено.

Теперь повернем оба наших аектора так, чтобы вектор A совпал с одной из осей. В этом случае проекция вектора B на вектор A определяется особенно просто - надо взять компоненту, соответствующую оси X, и эта величина и будет проекцией.

Для того, чтобы этот метода работал в произвольно взятой системе гиперкомплексных чисел Кэли - Диксона, выберем в качестве такой целевой оси для доворота действительную ось, поскольку в любой алгебре Кэли - Диксона определена действительная компонента.

Отметим тот факт, что поворот должен осуществляться в плоскости, проходящей через действительную ось и мы можем использовать механизм скалярно - пространственных поворотов, описанный в работе [2]. В случае использования алгебр, коммутативных по умножению, поворот может быть осуществлен так же, как на обычной комплексной плоскости, путем простого умножения на оператор поворота.