Неопределённые интегралы.

Док-во:

 

Q⁺ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

 множеств. Q^- - Тоже, что и Q⁺ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным Þ Q - сч. мн.

 

 

Предел числовой последовательности:

Пусть aÎR, e>0 {x:| x-a|<e}

Последовательность {X_n} имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого

 бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e - окрестность точки a.

Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.

$n₀=n₀(e)ÎN: n>n₀ Þ |x_n-a|<e   a=limx_n , при n®¥

Свойства:

1. Единственность (Если предел есть, то только один)

Док-во: Метод от противного. a=limx_n , b=limx_n , при n®¥, a>b, a-b=e>0

$n₀=n₀(e/3):|x_n-a|<e/3 и |x_n-b|<e/3

e=a-b=(a-x_n)-(b-x_n)

e=|(a-x_n)-(b-x_n)|£ |(a-x_n)|+|(b-x_n)|£2e/3

e£2e/3 Противоречие.

2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: $limx_n=a, при n®¥ - конечный предел

Док-ть:$M>0:|x_n|<M "n

Док-во: limx_n=a, при n®¥:"e>0 $n₀=n₀(e):a-e<x_n<a+e, при n>n₀

Пусть e=1, тогда при n>n₀(1) будет выполняться a-1<x_n<a+1 или |x_n-a|<1

Тогда |x_n|<|(x_n-a)+a|<|x_n-a|+|a|<|a|+1 "n>n₀(1)

P=max{|a₁|,|a₂|,…,|a_no|}

M=max{P,|a|+1}Þ|x_n|<M "n

3. Предел подпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая

 её подпоследовательность имеет тоже предел а)

 

 

Свойства предельного перехода связанные с неравенствами :

Теорема 1. Пусть $limx_n=x, при n®¥ - конечный (1 последовательность)

                          $limy_n=y, при n®¥ - конечный (2 последовательность)

Если x<y, то для почти всех n x_n<y_n

Док-во: e=y-x>0

$n^|=n^|(e/3): |x_n-x|<e/3 "n>n^|

$n^||=n^||(e/3): |y_n-y|<e/3 "n>n^|

n₀=max{n^|,n^||}, n>n₀

x-e/3<x_n<x+e/3 î

y-e/3<y_n<y+e/3 ì Þ x_n<x+e/3<y-e/3<y_n Þ "n>n₀ x_n<y_n Что и т. док-ть.

Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то

 эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n

 сохраняет знак своего предела)

x=limx_n, x¹0

1) x>0 Предположим x>0 x/2>0Þx>x/2

limx_n>x/2, при n®¥ Из Т.1. следует, что $n₀:"n>n₀ x_n>x/2>0

 

Теорема 2. Предположим, что $limx_n=x и $limy_n=y, при n®¥

Если для почти всех n:x_n£y_n, то и x£y

Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1. Þ x_n>y_n для почти всех n

Противоречие.

 

Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.

Пусь $limx_n=limy_n=a, при n®¥, и предположим, что x_n£z_n£y_n "n, тогда

1) Сущ. limz_n, при n®¥

2) limz_n=a, при n®¥

Док-во: $n^|=n^|(e):a-e£x_n£a+e, "n>n^|

          $n^||=n^||(e):a-e£y_n£a+e, "n>n^||

n₀=max{n^|,n^||}

n>n₀ Þ a-e£x_n£z_n£y_n£a+e Þ a-e£z_n£a+e Þ $limz_n=a

 

 

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

defû {x_n}-б.м. :=limx_n=0, при n®¥, т.е. "e>0 $n₀=n₀(e) n>n₀ Þ |x_n|<e

defû {x_n}-б.б. :=limx_n=¥, при n®¥, т.е. "e>0 $n₀=n₀(e) n>n₀ Þ |x_n|>e

Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

{x_n}-б.м. {y_n}-ограниченная {x_ny_n}-б.м.

Док-во: $M>0:|y_n|£M "n - значит ограничена.

"e>0 $n₀=n₀(e/M):n>n₀ Þ |x_n|<e/M Þ

Þ n>n₀ |x_ny_n|=|x_n||y_n|£e/M*M=e Þ {x_ny_n}-б.м.

Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

{x_n}-б.б. и {y_n}-отдел от нуля

Док-во: {1/x_n*1/y_n}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ {x_ny_n}-б.б.

Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

{x_n} и {y_n}-б.м. Þ{x_n+y_n}-б.м.

Док-во: "e $n^|=n^|(e/2):n>n^| |x_n|<e/2

                $n^||=n^||(e/2):n>n^|| |y_n|<e/2

n₀=max{n^|,n^||}

n>n₀ Þ |x_n+y_n|£|x_n|+|y_n|<e/2+e/2=e

Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей

 нужно применить метод мат. индукции.

Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака

Док-во: Очивиднл.

 

Неопределённые интегралы.

def / F(x) называется первообразной

для f(x) на [a;b] если F ¢(x)=f(x)

У непрерывной функции первообразная

всегда есть.

Теорема: Различные первообразные

  одной и той же функции отличаются

  на одно и тоже постоянное слагаемое.

Док-во: F₁(x) и F₂(x) – первообразные для f(x)

F(x)= F₁(x)- F₂(x)

F ¢(x)= F₁¢(x)- F₁¢(x)=f(x)-f(x)=0

F(x)=const

Def / Совокупность всех первообразных одной

  и той же функции называется её

  неопределённым интегралом.

Св-ва линейности:

Замена переменных в неопределённом интеграле

   или методом подстановки.

Теорема: Пусть функция x=

   x(t): (a;b)®(a;b), xÎC¹(a;b), fÎC(a;b)

1)

½x=x(t)

2) Если x¢(t) сохраняет знак, тогда

½t=t(x)

Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t)

2) x(t) – строго монотонная Þ $обратная t=t(x)

½t=t(x)