Получение функции спроса для описания модели поведения потребителя на товарном рынке

ГЛАВА 11

СТАБИЛЬНО-ЭФФЕКТИВНЫЕ КОМПРОМИССЫ
ПРИ УПРАВЛЕНИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ ПРЕДПРИЯТИЯМИ (ФИРМАМИ) НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ СТАТИЧЕСКОЙ
И ДИНАМИЧЕСКОЙ ОЛИГОПОЛИИ

В процессе функционирования предприятий-фирм на однородном товарном рынке между предприятиями при насыщении потребительского спроса возникают элементы конфликтного взаимодействия – конкуренции. В частном случае это приводит к разделению рынка. В общем случае необходимо в процессе планирования производственной и коммерческой деятельности и в процессе текущего управления производственными и товарными потоками обеспечивать элементы стабильности предприятия в условиях конкуренции. Поэтому подходы на основе СТЭК являются актуальными в статических и динамических моделях олигополии на товарном рынке, например [54, 58, 211, 267, 292, 295, 299, 316, 406, 411, 417], где олигополию составляет группа предприятий, которой принадлежит производство и рынок одного или нескольких видов товара.

Материал главы 11 раскрывает дополнительные возможности анализа олигополии в условиях конкуренции на основе СТЭК и формирует методику анализа. Приведенные результаты анализа указывают на практическую ценность подхода.

11.1. Описание задачи управления предприятием (фирмой)
в условиях олигополии

Особенности олигополии на товарном рынке. Главное значение на олигопольном рынке имеет то, что только несколько предприятий производят всю или почти всю продукцию. На ряде олигопольных рынков некоторые или все предприятия зарабатывают значительную прибыль на долговременном этапе, потому что ограничение доступа на олигопольный рынок делает сложным или почти невозможным выход на рынок новых предприятий. Олигополия является преобладающей формой современной рыночной структуры. Олигопольными отраслями промышленности в США являются военно-промышленный комплекс, автомобильная промышленность, производство стали, алюминия, нефтехимикатов, электрооборудования и компьютеров.

Существуют следующие препятствия для проникновения на рынок. Ограниченный рынок может сделать неприбыльным сосуществование многих предприятий на рынке. Патентование и лицензирование технологии могут исключить потенциальных конкурентов, а необходимость расхода средств на рекламу предприятия и ее товар и утверждение их репутации на рынке могут стать препятствием для вступления на рынок новых предприятий. Это «естественные» преграды, лежащие в основе структуры отдельно взятого рынка. Кроме того, ведущие предприятия могут предпринять стратегические действия, чтобы затруднить выход на рынок новых фирм. Например, они могут переполнить рынок товарами и снизить тем самым цены в случае выхода на рынок нового предприятия, а для этого создать дополнительные производственные мощности.

Управление предприятием на олигопольном рынке усложнено из-за стратегических решений по ценообразованию, объему производства, рекламе и капиталовложениям. Стратегические соображения могут иметь сложный и комплексный характер. При принятии решений каждое предприятие должно учесть реакцию конкурентов, зная, что его конкуренты будут также взвешивать его реакцию на их собственные решения. Более того, принятие решений, ответные реакции, конкуренция – динамические процессы.

Подходы к моделированию олигополии. Пусть на рынке конкурирует N предприятий. Задача состоит в координации действий N предприятий по управлению потоками собственных средств производства (статическая модель) или объемом выпуска товаров (динамическая модель). В первом случае управляющие факторы любого предприятия могут быть представлены объемом вкладываемого капитала и трудовыми ресурсами в условиях действия всех предприятий на общем рынке. Тогда вариант управления на олигопольном рынке можно представить с помощью следующей схемы, представленной на рис. 11.1, с некоторой ее модификацией для динамической модели. Для данной схемы необходимо описать функционирование каждого из блоков. Далее будут последовательно описаны поведение потребителя и каждого из предприятий, а затем применены оптимизационные алгоритмы для регулирования деятельности предприятий на олигопольном рынке, когда, например, прибыли предприятия в прямой форме (статическая модель) или в форме депозита предприятия в банке (динамическая модель) зависят от потребительского спроса, на который влияют однородные товары предприятий-конкурентов.

Методы оптимизации для определения СТЭК на олигопольном рынке реализованы в виде программной системы «МОМДИС» (см. гл. 9), которая позволяет решать задачи подобного вида для многообъектных и многокритериальных динамических систем.

Рис. 11.1. Управление на олигопольном рынке

Оставаясь на позиции коалиционного взаимодействия, предприятиям на олигопольном рынке взаимовыгодно применять стратегии, которые принадлежат множеству УКУ и соответствуют точке наиболее близкой к точке дележа Шепли. Точка Шепли обеспечивает предел прибылей для предприятий на договорной основе. Поэтому точка УКУ, наиболее близкая к точке Шепли, и является основным СТЭК (СТЭК-7, см. гл. 6).

Получение функции спроса для описания модели поведения потребителя на товарном рынке

Имеют место следующие этапы рассмотрения поведения потребителя: изучение его предпочтений (изучение критериев предпочтения потребителем одного товара другому); бюджетные ограничения (потребитель располагает ограниченными доходами для приобретения предметов потребления); совмещение предпочтений потребителя с бюджетными ограничениями для определения потребительского выбора.

Формирование целевой функции полезности в форме Кобба–Дугласа как критерия предпочтения потребителя. Введем функцию полезности с точностью до монотонного преобразования. Полезность наборатоваровС для различных систем измерения линейных относительно друг друга может быть представлена в виде

                                           ,                                    (11.1)

где ;  – значения функции полезности в различных системах измерения для набора .

Пусть без ограничения общности функция полезности для двух товаров в наборе имеет вид

                                               ,                                         (11.2)

где  определяется системой мер (основной единицей измерения).

Кривая безразличия представляет собой совокупность потребительских наборов, которые обеспечивают одинаковый уровень удовлетворения потребностей (см. рис. 11.2).

Существуют различные формы представления функции полезности, полученные на основе анализа статистических данных с учетом свойств кривых безразличия. Далее приведенаматематическая модель функции полезности, хорошо показавшая себя при применении ее на практике.

Введем ,  – форма Кобба–Дугласа.

Определим эластичность уровня полезности (кривой безразличия).

Пусть M = 1, тогда

                                        .

Равенство  характеризует безразличие к изменению элементов набора по функции полезности.

Тогда эластичность уровня полезности имеет вид

                                           .

Эластичность характеризует пропорциональность малых относительных изменений в наборе.

Бюджетные ограничения в модели потребления. Предпочтения не объясняют полностью поведения потребителя. На индивидуальный выбор влияют также бюджетные ограничения, которые с помощью цен на различные товары и услуги ставят пределы потребления.

Бюджетная линия указывает на все сочетания цен  на товары с количествами их закупки , при которых сумма затрат равна доходу.

При этом предполагается, что покупатель обладает фиксированным доходом .

Продолжая пример с продуктами питания и одеждой, получаем (см. рис. 11.2)

                                               .                                         (11.3)

Оптимизация потребительского выбора. Потребитель выбирает товары так, чтобы достичь максимального удовлетворения своих потребностей при заданном ограниченном бюджете.

График максимизации удовлетворения потребностей потребителя изображен на рис. 11.2.

Рис. 11.2. Максимизация удовлетворения потребностей потребителя

Точка, соответствующая максимальному удовлетворению потребностей потребителя, должна принадлежать бюджетной линии. Если она лежит выше линии (С), то доход потребителя не может покрыть издержки на покупку товаров. Если она лежит ниже, то свой доход потребитель использовал не полностью, а поэтому может еще более удовлетворить свои потребности с помощью дополнительной закупки товаров. Таким образом, кривая безразличия должна пересекать бюджетную линию или касаться ее. Если кривая безразличия пересекает линию бюджета (В), то ей принадлежат точки ниже бюджетной линии с меньшей полезностью. Поэтому точка касания (А) кривой безразличия бюджетной линии является оптимальной, т.е. максимально удовлетворяющей потребности потребителя.

Для функции полезности в форме Кобба–дугласа:

                     .               (11.4)

Тогда из необходимого условия экстремума:  получаем

                                                                                                        (11.5)

– функция спроса на одежду, где P₁– цена единицы одежды,  – количество одежды, которое может быть куплено потребителем,  – доля бюджета.

Обобщенная задача оптимизации потребительского выбора [58, 411 ]. Введем следующие характеристики потребителя:

·  – бюджет потребителя;

·  – количество j-го товара, приобретенного потребителем;

·  – цена j-го товара;

·  – i-й запас капитала потребителя;

·  – арендная плата на владение -м запасом капитала (если, например, потребитель владеет недвижимым имуществом, то  и  включает в себя налог на имущество и страховые взносы, а если потребитель держит деньги в банке, то  и  – это банковский процент по данному вкладу).

Функция полезности принимает вид

                                                                        (11.6)

Определим остаток от бюджета после всех расходов как

                                                    (11.7)

( , так как потребителю выгоднее положить деньги в банк, чем оставить их в виде наличности).

Введем безусловную функцию полезности

                                                    ,

которую необходимо максимизировать. Необходимое условие экстремума функции V [8]:

                          (11.8)

Для функции полезности  в форме Кобба–Дугласа

                                                      (11.9)

где  h = 1,…,m; g = 1,…,n.

Используя (11.8а, б), получаем

Подставляя  и  в (11.7) или в (11.8в), получаем

                      (11.10)

Для проверки выполнения достаточного условия экстремума используем гессианский определитель вторых производных [58].

Окончательно функция спроса для потребителя

                                 , ,

где  –доля бюджета, планируемая для покупки товара .

Для рынка j-го товара, на котором спрос формируют потребители

                           или ,                  (11.11)

где – суммарный объем продаж j-го товара на потребительском рынке.

Если данный товар производит  предприятий, то функция спроса принимает вид

                                               .                                       (11.12)

При одинаковой цене однородного товара  получим функцию спроса в виде

                                                  .                                          (11.13)

11.3. Формирование математической модели предприятия
для статической олигополии

Формирование модели производственных связей и целевого показателя. Предполагаем, что задача предприятия заключается в максимизации прибыли на долговременном этапе и контроле издержек. Предположение о максимизации прибыли часто используется в микроэкономике, так как с его помощью можно точно прогнозировать поведение предприятия.

Прибыль представляет собой разницу между доходом и издержками производства.

Совокупный доход , получаемый предприятием, равен цене продукта  умноженной на количество продаваемых единиц :

                                                   .                                           (11.14)

Размер дохода зависит от объема выпуска продукции.

Валовые издержки  на производство определенного объема продукции равны сумме издержек на оплату рабочей силы (  –средняязарплата работающих,  – количество занятых в производстве человек) и капитальных издержек  (  – капитал, участвующий в производстве,  – доля капитала, уплачиваемая за аренду оборудования):

                                                .                                        (11.15)

Аналогично функции полезности набора товара для потребителя вводится функция полезности использования факторов производства, описывающая объем выпускаемой продукции при данном уровне развития производства и количестве используемых факторов:

                                               ,                                       (11.16)

где  – коэффициенты, определяемые уровнем развития производства.

Если считать ограничение по валовым издержкам аналогом ограничения по бюджету, то, не проводя рассуждений об эффективности использования факторов производства, можно утверждать, что решение  представляет собой семейство точек касания кривых, описывающих Q, и прямых линий, описывающих  (рис. 11.3).

Рис. 11.3. Связь издержек с объемом производства

Таким образом, для любого объема производства можно однозначно определить валовые издержки.

Прибыль предприятия равна:

                                       .                               (11.17)

Очевидно, что прибыль достигает максимума, когда

                                               .                                      (11.18)

Получение производственной функции Кобба–Дугласа. Производственная функция (ПФ) – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов, а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска.

Экономист Пол Дуглас показал, что распределение национального дохода между капиталом и трудом почти не изменяется с течением времени. Другими словами, по мере роста производства как рабочие, так и собственники капитала пользуются благами возросшего процветания экономики в постоянной пропорции. Этот результат поставил вопрос о причинах постоянства долей факторов производства.

Описывающая этот факт производственная функция должна обладать свойствами:

                        доход на капитал ,

                       доход на труд ,               (11.19)

где  – предельный продукт капитала: количество продукта, произведенного на единицу капитала;¶Q / ¶L – предельный продукт труда: количество продукта, произведенного на единицутруда; Q –производственная функция; 0 < g < 1 – постоянная, измеряющая долю капитала в доходе (определяет, какая часть дохода достается владельцам капитала, а какая идет на оплату труда).

Математик Чарльз Кобб показал, что функцией, обладающей такими свойствами, является

                                       ,                               (11.20)

где  – положительный параметр, измеряющий производительность существующей технологии. Эта функция стала известна как производственная функция Кобба–дугласа.

Многие экономисты подтвердили, что функция Кобба–Дугласа правильно отражает то, каким образом экономика преобразует производственные ресурсы в конечную продукцию.

Рис. 11.4. Отношение дохода труда к доходу капитала в США с 1948 г. по 1989 г

На рис. 11.4 показано отношение дохода труда к доходу капитала в США с 1948 г. по 1989 г. Несмотря на множество изменений в экономике, имевших место за последние четыре десятилетия, это отношение оставалось в границах от 2 до 3 (см. рис. 11.4). Такое распределение дохода легко объясняется производственной функцией Кобба–Дугласа, в которой доля капитала  равна приблизительно 0,3.

Формирование модели управления ресурсами на товарном рынке, использующей статическое описание олигополии. Борьбу на рынке ведут несколько предприятий-фирм. Каждая фирма должна решить, сколько продукции ей выпускать. Все фирмы принимают решение в одно и то же время. Вводится следующая модель описания рынка и каждой фирмы.

1)  – функция спроса на товар, производимый фирмами, которая была получена с использованием функции полезности Кобба–Дугласа, где  – объем производства i-й фирмой,  – цена товара на рынке,  – определяется бюджетными ограничениями потребителя и его предпочтениями.

2) Совокупный доход, получаемый i-й фирмой, где N – число фирм:

                                        .                                (11.21)

3) Прибыль, получаемая фирмой, определяется не только доходом, получаемым от продажи продукции, но и издержками производства. Если доход определяется лишь сложившейся конъюнктурой рынка готовой продукции, то издержки определяются особенностями производства (организацией процесса производства, используемыми технологиями).

4) Объем выпускаемой продукции каждой из фирм описывается следующим образом:

                                 – для i-й фирмы,                       (11.22)

где  – капитал, участвующий в производстве продукции i-й фирмой;
 – количество работников на i-й фирме, ;  и  – показатели технологического процесса для i-й фирмы, .

5) Вектор управляющих параметров имеет следующий вид:

                                       – для i-й фирмы.                              (11.23)

6) Валовые издержки имеют вид

                                – для i-й фирмы,

где w – средняя зарплата работающих в данной отрасли;  – доля капитала, уплачиваемая за аренду оборудования.

Таким образом, прибыль каждой фирмы

                                        , где .                                (11.24)

7) Задача каждой фирмы состоит в максимизации собственной прибыли при условии ограничений на превышение производственными затратами запланированных производственных затрат

                 – вектор показателей для i-й фирмы.

Задача сводится к задаче минимизации:

                                                ,                                        (11.25)

                      .

8) Формируется обобщенный скалярный критерий для i-й фирмы:

                                         ,                                 (11.26)

где  – штрафные веса, определяющие учет превышения реальных издержек над планируемыми.

11.4. Стабильно-эффективные компромиссы
на моделях статической олигополии

Расчет СТЭК для задачи управления ресурсами на товарном рынке, использующей статическое описание дуополии . Для дуополии модель принимает вид:

 – цена товара.

Совокупный доход, получаемый каждой фирмой, равен

         .

Объем выпускаемой продукции каждой из фирм

                            .

Векторы параметров

                                          , .

Валовые издержки имеют вид

                           , .

Прибыль каждой фирмы:

                                     .

Вектора показателей принимают вид:

                                               

где , ;

                                               

где p₂ ® min, .

Обобщенные критерии:

                ,

Исходные данные для предприятия среднего уровня:

1) годовая характеристика спроса на товар, определяемая бюджетными ограничениями потребителей и их предпочтениями  млрд. руб.;

2) средняя зарплата работающих в данной отрасли =36 тыс. руб./год;

3) доля капитала, уплачиваемая за аренду оборудования = 150% / год;

4) показатели технологического процесса фирм ;  и ; ;

5) запланированные производственные затраты фирм  млн. руб.

Кроме того, штрафные веса, определяющие учет превышения реальных издержек над планируемыми, для каждой из фирм имеют значения: .

Результаты СТЭК-оптимизации представлены на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Получение пересечения ПНОК и области УКУ-решений

Точка СТЭК находится в области Парето–Нэш-оптимальных компромиссов (см. рис. 11.5).

Найдем точку Шепли (наилучшее коалиционное решение). Для этого находим координаты доминирующей точки Нэша:

                          .

В выбранной точке Парето-множества

                       ,

                               .

Формула для определения точки Шепли имеет следующий вид (см. гл. 5):

                   ;

                   .

Точка УКУ наиболее близкая к точке Шепли и является СТЭК (рис. 11.6)

                     .

Рис. 11.6. Результаты СТЭК-оптимизации (ПНОК, рис. 11.5)

Для первой фирмы СТЭК-решение:  млн. руб,  чел.

Для второй фирмы СТЭК-решение:  млн. руб,  чел.

Если предприятия в условиях дуополии используют стратегии, позволяющие им находиться в точке СТЭК, то состояние рынка соответствует стабильно-эффективному компромиссу. Данная методика позволяет предприятиям использовать минимум информации о рынке и конкуренте.

Годовая прибыль предприятий составит

                             млн. руб.;  млн. руб.

Исследование СТЭК для различных параметров модели дуополии. Результаты для базовой модели представлены на рис. 11.5.

Далее, после приведения к одному масштабу, исследуется зависимость показателей и управляющих параметров СТЭК в зависимости от изменения зарплаты, ставки аренды и покупательской способности рынка.

Влияние на СТЭК изменений зарплаты дано на рис. 11.7, 11.10.

Рис. 11.7. Результаты СТЭК-оптимизации при различной средней зарплате

Влияние на СТЭК изменений ставки аренды дано на рис. 11.8, 11.11.

Рис. 11.8. Результаты СТЭК-оптимизации при различном капитале аренды в %

Влияние на СТЭК изменений покупательской способности рынка дано на рис. 11.9, 11.12.

 

Рис. 11.9. Результаты СТЭК-оптимизации при различном спросе

Рис. 11.10. Зависимость СТЭК-оптимальной прибыли  (млн. руб.) дуополии
от средней зарплаты w (тысяч руб/год)

Рис. 11.11. Зависимость СТЭК-оптимальной прибыли  дуополии
от арендного капитала в %

Рис. 11.12. Зависимость СТЭК-оптимальной прибыли  дуополии от спроса

Анализ результатов позволяет получить следующие выводы.

При повышении зарплаты прибыль уменьшается, при этом выгоднее осуществлять большие капиталовложения и сокращать персонал.

При повышении ставки аренды увеличиваются капиталовложения и незначительно увеличивается рекомендуемое число сотрудников, при этом прибыль сокращается.

При росте покупательской способности прибыль фирмы возрастает. При максимальной покупательской способности фирме необязательно увеличивать число сотрудников и капиталовложений, фирма увеличивает цену на свою продукцию. При уменьшении покупательной способности прибыль при незначительном сокращении рабочей силы значительно уменьшается.

В целом сравнительный анализ вариантов модели дуополии показывает, что результаты на основе СТЭК адекватно отражают реальные тенденции эффективного поведения предприятий-фирм на товарном рынке при дополнительном условии стабильности решений в условиях необязательных соглашений.

В [54] дан расчет СТЭК для задачи управления ресурсами на товарном рынке, использующей статическое описание триополии методом проекций.

Модель триополии и параметрические условия аналогичны первому варианту.

Метод получения СТЭК на полном векторном пространстве показателей и параметров состоит из четырех основных этапов.

1) С помощью ПС «МОМДИС» находится множество точек области УКУ, наиболее близких к локальной Парето-границе, для случаев коалиционного объединения . Эти точки являются наилучшими решениями в каждой парной задаче нахождения области УКУ. Это очевидно, так как при удалении от локальной Парето-границы их значения ухудшаются с точки зрения постановки задачи.

2) С помощью ПС «MATHCAD» (или других вычислительных средств) по трем полученным таблицам наилучших точек УКУ находятся точки пересечения по всем параметрам ,  данных трех областей. Найденное множество является оптимальным решением с точки зрения принадлежности к трем двусторонним задачам нахождения УКУ исходной триополии (УКУ-игры триополии).

Пересечения областей находятся из условия нулевого расстояния между точками  для каждой строчки таблиц по формулам:

; , , .

3) Используя результаты Парето-оптимизации триополии и найденное выше множество УКУ, аналогично пункту 2 находится область их пересечения по всем шести параметрам.

4) Сравнив данные точки с полученными выше значениями координат точки Шепли по показателям, из области выбирается наиболее близкая к ней точка. Данная точка и будет являться искомой точкой СТЭК-7 на основе Нэш–Парето–УКУ–Шепли-компромиссов в триополии.