Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЭКОНОМЕТРИКА»

 

 

 

2007

Задания к контрольной работе:

1. Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии

2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ.

Модель: Y = (2/X) + 5; X = 0;

3. Убыточность выращивания овощей в сельскохозяйственных предприятиях и уровни факторов (сбор овощей с 1 га, ц и затраты труда, человеко-часов на 1 ц), ее формирующих, характеризуются следующими данными за год:

 

№ района	Фактор		Уровень убыточности, %
	Сбор овощей с 1 га, ц	Затраты труда, человеко-часов на 1 ц
1	93,2	2,3	8,8
2	65,9	26,8	39,4
3	44,6	22,8	26,2
4	18,7	56,6	78,8
5	64,6	16,4	34
6	25,6	26,5	47,6
7	47,2	26	43,7
8	48,2	12,4	23,6
9	64,1	10	19,9
10	30,3	41,7	50
11	28,4	47,9	63,1
12	47,8	32,4	44,2
13	101,3	20,2	11,2
14	31,4	39,6	52,8
15	67,6	18,4	20,2

 

Нелинейную зависимость принять

Метод наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии

 

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой эконометрической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

 

Ŷ = а + bx или Ŷ = a + bx + ε;

 

Уравнение вида Ŷ = а + bx позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора X. На графике теоретические значения представляют линию регрессии.

 

 

	X

 

Рисунок 1 – Графическая оценка параметров линейной регрессии

 

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – а и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Можно обратится к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию. Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр a определим как точку пересечения линии регрессии с осью OY, а параметр b оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy – приращение результата y, а dx – приращение фактора x, т.е. Ŷ = а + bx.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов(МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (y) от расчетных (теоретических) минимальна:

 

∑(Y_i – Ŷ _xi)² → min

 

Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной.

 

ε_i = Y_i – Ŷ _xi.

 

следовательно ∑ε_i² → min

	Y

 

X

Рисунок 2 – Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков

 

Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю.

Обозначим ∑ε_i² через S, тогда

S = ∑ (Y –Ŷ _xi)² =∑(Y-a-bx)²;

 

Дифференцируем данное выражение, решаем систему нормальных уравнений, получаем следующую формулу расчета оценки параметра b:

 

b = (ух – у•x)/(x²-x²).

 

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Например, если в функции издержек Ŷ = 3000 + 2x (где x – количество единиц продукции, у – издержки, тыс. грн.) с увеличением объема продукции на 1 ед. издержки производства возрастают в среднем на 2 тыс. грн., т.е. дополнительный прирост продукции на ед. потребует увеличения затрат в среднем на 2 тыс. грн.

Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.