Определение точки перегиба. Необходимый признак точки перегиба (формулировка). Достаточный признак точки перегиба (формулировка)
Первый достаточный признак экстремума (доказательство). Второй достаточный признак экстремума (формулировка) Первое достаточное условие Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой - окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная этой функции меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс - то есть точка минимума. Доказательство. 1) Рассмотрим -окрестность точки . 2) Пусть и . Тогда функция возрастает на интервале , а на интервале она убывает. Отсюда следует, что значение в точке является наибольшим на интервале , то есть для всех . Следовательно есть точка максимума. Второе достаточное условие Если в точке первая производная функции равна нулю ( ), а вторая производная в точке существует и отличная от нуля ( ), то при в точке функция имеет максимум, а при – минимум. Доказательство. Пусть . Так как , то в достаточно малой окрестности точки . Если , то , если , то . Из этого следует, что при переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно есть точка минимума.
18. Определение выпуклости вверх (вниз) графика функции на интервале. Достаточный признак выпуклости вверх (вниз) (формулировка, доказательство*) Определение. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале , если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала . Определение. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале , если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала . Достаточный признак выпуклости вверх (вниз) Если во всех точках , то график имеет выпуклость вверх, если , то график имеет выпуклость вниз. Доказательство. Пусть функция в произвольной точке выпукла вниз. Тогда в достаточно малой окрестности точки справедливо неравенство Запишем последнее неравенство в виде Применяя формулу Лагранжа к первому и второму слагаемому получим Применяя еще раз формулу Лагранжа в квадратной скобке, получим Откуда непосредственно следует , так как . Поскольку аргумент выбран произвольно в достаточно малой окрестности точки , то и аргумент для второй производной в этом случае тоже произволен в малой окрестности точки .
Определение точки перегиба. Необходимый признак точки перегиба (формулировка). Достаточный признак точки перегиба (формулировка) Определение . Точкой перегиба графика функции называется точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости.
Необходимый признак точки перегиба Если точка – точка перегиба функции и если в некоторой окрестности точки (непрерывная в точке ) , то . Достаточный признак точки перегиба Если функция непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если меняет знак при переходе через точку , то точка – точка перегиба функции .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (814)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |