Моделирование инерционных нелинейных функциональных замкнутых систем

Сложнее обстоит дело с цифровым моделированием замкнутых функциональных нелинейных систем (системы III класса).

Пример 2. Рассмотрим нелинейную систему, показанную на рис. 3.8,а, у которой нелинейный элемент стоит в прямой цепи петли обратной связи. Положим, что линейный фильтр с передаточной функцией К(р) является системой второго порядка. Заменив этот фильтр дискретным фильтром (рис. 3.8,б) с передаточной функцией

получим следующие уравнения, описывающие преобразования сигнала u[n] в эквивалентной дискретной нелинейной системе:

(3.106)

Поскольку вычисления производятся рекуррентно, все величины в последнем уравнении в (3.106), кроме v_*[n], можно считать известными. Поэтому для нахождения интересующего нас неизвестного значения v_*[n] требуется решить относительно v_*[n] нелинейное уравнение

Где  (3.107)

Уравнение (3.107) требуется решать на каждом шаге. Наиболее общим методом решения является метод итераций. Для простых нелинейностей решение этого уравнения иногда удается записать в виде формулы, например, если f(x)=x², то

или

где

Отсюда 

Таким образом, приходим к выводу, что особенностью цифровой модели данной нелинейной системы, содержащей нелинейный элемент в замкнутом контуре, является необходимость решать на каждом шаге нелинейное алгебраическое уравнение при условии, если линейные динамические звенья системы моделируются с помощью рекуррентных уравнений. Нетрудно убедиться, что такое положение всегда имеет место при цифровом моделировании замкнутых функциональных нелинейных систем.

Необходимость решения нелинейных уравнений усложняет цифровые модели замкнутых нелинейных систем по сравнению с цифровыми моделями разомкнутых нелинейных систем. Это затруднение легко обойти, если в цепь обратной связи эквивалентной импульсной системы ввести дополнительно элемент задержки на один период (рис. 3.8,в). Тогда необходимость решения уравнения вида (3.107) отпадает, и цифровая модель замкнутой нелинейной системы оказывается почти столь же простой, как и модель разомкнутой системы.

Действительно, уравнение (3.107) в этом случае принимает вид

(3.108)

Вычисление текущего значения сигнала на выходе замкнутой системы по уравнению (3.108) сводится к нелинейному преобразованию известных (u[n], u[n—1], u[n—2]) и заранее вычисленных  величин.

Следует заметить, что введение элемента запаздывания вносит дополнительную погрешность в цифровую модель. Однако при достаточно малом шаге дискретизации влияние этой погрешности практически незначительно. При

Δt–>0 эквивалентная дискретная система с элементом задержки (рис. 3.8,в) так же, как и эквивалентная дискретная система без элемента задержки (рис. 3.8,6), совпадает с исходной непрерывной системой (рис. 3.8,а).

В настоящее время не представляется возможным дать некоторые единые рекомендации для выбора шага дискретизации Δt, при котором можно пренебречь влиянием элемента запаздывания па величину погрешности моделирования. Это обусловлено как большим разнообразием нелинейных систем, так и недостаточной изученностью рассматриваемого вопроса. Опыт моделирования

замкнутых нелинейных систем радиоавтоматики (следящих координаторов), содержащих один нелинейный элемент с характеристикой нелинейности в виде дискриминационной кривой, показал, что влияние элемента запаздывания практически не ощущается при Δt≤T_Э/10, где Тэ — постоянная времени замкнутой следящей системы в линейном режиме. Это соотношение, по-видимому, можно использовать для ориентировочного выбора шага дискретизации и при моделировании других замкнутых нелинейных систем.

Увеличения точности при заданном шаге дискретизации в системе с элементом задержки можно достичь, используя метод фирмы IBM, основанный на сочетании метода корневых годографов с методом z-преобразования или же метод квазилинеаризации.