УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие некоторые физические процессы. Все многообразие уравнений математической физики может быть разделено на три класса. Уравнения каждого класса обладают общими свойствами ре­шений. В каждом из этих классов есть простейшее уравнение, назы­ваемое каноническим. Принадлежность уравнения тому или иному классу определяется соотношением между коэффициентами при старших производных.

Для неизвестной функции с двумя независимыми переменными u(x,y) линейное уравнение с частными производными второго порядка может быть записано в виде:

 ,   

где a(x,y), b(x,y), c(x,y) - дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Уравнение (1) имеет в точке (x, y):

гиперболический тип, если ,

параболический тип, если ,

эллиптический тип, если .

Основными уравнениями математической физики являются:

1) Волновое уравнение

Это однородное уравнение гиперболического типа. Оно описывает процессы поперечных колебаний струн, продольные колебания стержней, крутильные колебания валов, колебания тока и напряже­ния в проводах и другие динамические процессы (здесь и далее x ­– пространственная координата, t – время).

2) Уравнение теплопроводности

.

Это однородное уравнение параболического типа. Оно описыва­ет процессы распространения тепла в стержнях, задачи фильтрации жидкостей и газов в пористых средах и др.

3) Уравнение Лапласа

.

Это однородное уравнение эллиптического типа. Уравнение Лапласа не содержит времени (x и y – пространственные координа­ты) и описывает стационарные процессы в электрических и магнит­ных полях, задачи стационарной теплопроводности, многие стацио­нарные задачи гидродинамики, диффузии, прочности и др.

Любое дифференциальное уравнение математической физики имеет бесчисленное множество решений. Для получения единственного решения необходимо задание дополнительных условий, которые поз­воляют однозначно описать конкретный физический процесс. Коли­чество и вид этих условий зависят от характера и порядка произ­водных, входящих в уравнение, от формы области, в которой ищется решение уравнения, от характера взаимодействия рассматриваемого тела (или процесса в выделенном теле) с окружающей средой. В общем случае дополнительными условиями могут быть начальные и граничные условия.

а) Начальными условиями называются дополнительные требования, которым должно удовлетворять искомое решение дифференциального уравнения в некоторый фиксированный (начальный) момент времени.

б) Граничными условиями называются дополнительные требования к решению дифференциального уравнения, которые должны выполняться на границе рассматриваемой области в течение всего времени протекания процесса.

в) Совокупность начальных и граничных условий называется краевыми условиями,а задача отыскания решения уравнения, удовлетворяющего заданным краевым условиям, называется краевой задачей.

Для уравнения гиперболического типа ставятся два начальных условия соответственно второму порядку производной по времени, входящей в уравнение. Они характеризуют величины откло­нений и скоростей точек тела (струны, стержня и др.) в началь­ный момент времени.

Для уравнения параболического типа ставится одно начальное условие, что соответствует первому порядку произ­водной по времени (если искомая функция в уравнении теплопро­водности u(x, t) – температура в произвольном сечении стержня в лю­бой момент времени t, то начальным условием задается распределе­ние температуры по длине стержня в начальный момент времени t = 0).

Граничные условия для волнового уравнения (если оно описы­вает, например, поперечные колебания струны конечных размеров) характеризуют поведение концов струны в процессе колебаний и за­висят от характера их закрепления.

Для уравнения теплопроводности стержня граничные условия имеют существенно различный вид в зависимости от характера теп­лообмена концов стержня с окружающей средой.

Для уравнения эллиптического типа, как и для уравнения па­раболического типа, также различают разные краевые задачи в за­висимости от условий на контуре рассматриваемой области.

Таким образом, постановка задачи математической физики включает в себя задание дифференциального уравнения в частных производных, описывающего исследуемый процесс, а также в общем случае граничных и начальных условий, позволяющих получить единственное решение.