Калибровка средств измерений.

Лабораторная работа №1

Определение действительных значений масс физических величин.

Калибровка средств измерений.

Экспериментальная часть.

 

    Даны два граммовых набора: "Набор №1" (состоящий из гирь номинальной массы 50, 20, 10, 5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1 граммов) и "Набор №2" (состоящий из гирь номинальной массы 1.0*, 0.5*, 0.2*, 0.1* грамм), а также эталон массой 100 грамм. Методом точного взвешивания на весах класса точности "специальный" (ГОСТ 24104-2001) эталон массой 100 грамм сличают с гирями граммовых наборов с помощью совокупных измерений (проведение одновременно измерений нескольких одноименных величин, при которых искомую определяют решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин).

    Измерения проводятся на базе метрологических подразделений предприятия (отдела, лаборатории) по предварительной договоренности и допуску и инструктажу в соответствующем подразделении. Измерения проводят по схеме:

 

    100 - (50 + 20 + 20* + 10) = а1

    50 - (20 + 20* + 10) = а2

    20 - (10 + 5 + 2 + 2* + 1)= а3

    20* - (10 + 5 + 2 + 2* + 1)= а4

    10 - (5 + 2 + 2* + 1) = а5

    5 - (2 + 2* + 1) = а6

    2 - (1 + 0,5 + 0,2 + 0,2* +0,1) = а7

    2* - (1 + 0,5 + 0,2 + 0,2* +0,1) = а8

    1 - (0,5 + 0,2 + 0,2* +0,1) = а9

    0,5 - (0,2 + 0,2* +0,1) = а10

    0,2 - (0,1 + 0,1*) = а11

    0,2* - (0,1 + 0,1*) = а12

    0,1 - 0,1* = а13

 

    Константы а1...а13 являются абсолютными погрешностями измерений, определяются при этом взвешивании и количественно ограничены пределами допускаемых отклонений значений масс от номинала (± мг) для гирь класса точности Е1 (ГОСТ OIML R 111-1-2009).

Погрешности измерений:

a1	a2	a3	a4	a5	a6	a7
0.05	0.03	0.025	0.025	0.02	0.015	0.012

 

a8	a9	a10	a11	a12	a13
0.012	0.01	0.008	0.006	0.006	0.005

 

    Результаты прямых измерений сочетаний масс физических величин (масс гиревых наборов и эталонной массы 100 г.) в виде таблицы погрешностей измерений для данных сочетаний этих масс являются отчетом по данной экспериментальной части с указанием использованного в метрологическом подразделении оборудования.

Обозначим массы гирь граммовых наборов следующим образом:

50

20

20*

10

5

2

2*

1

0,5

0,2

0,2*

0,1

0,1*

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

Х8

Х9

Х10

Х11

Х12

Х13

 

    При затруднениях с экспериментальной базой можно использовать таблицы любого выбранного набора масс гирь, разряд эталона гирь и ее массу, возможные при этом погрешности, соответствующие выбранному набору, эталонной гири и классу точности весов.

Для решения задачи составляется система линейных уравнений вида:

    X1 + X2 + X3 + X4 = 100 - a1

    X1 - X2 -X3 - X4 = a2

    X2 - X4 - X5 - X6 - X7 -X8 = a3

    X3 - X4 - X5 - X6 - X7 -X8 = a4

    X4 - X5 - X6 - X7 -X8 = a5

    X5 - X6 - X7 -X8 = a6

    X6 - X8 - X9 - X10 - X11 - x12 = a7                (1)

    X7 - X8 - X9 - X10 - X11 - x12 = a8

    X8 - X9 - X10 - X11 - x12 = a9

    X9 - X10 - X11 - X12 = a10

    X10 - X12 - X13 = a11

    X11 - X12 - X13 = a12

    X12 - X13 = a13

    Далее система уравнений (1) решается с помощью метода "обратной матрицы" .

    Для этого система уравнений (1) преобразуется в матрицу коэффициентов при неизвестных:

 

Х1	Х2	Х3	Х4	0	0	0	0	0	0	0	0	0		U- a1
Х1	Х2	Х3	Х4	0	0	0	0	0	0	0	0	0		a2
0	Х2	0	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	0	0	0	0	0		a3
0	0	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	0	0	0	0	0		a4
0	0	0	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	0	0	0	0	0		a5
0	0	0	0	Х5	Х6	Х7	Х8	0	0	0	0	0		a6
0	0	0	0	0	Х6	0	Х8	Х9	Х10	Х11	Х12	0	K=	a7
0	0	0	0	0	0	Х7	Х8	Х9	Х10	Х11	Х12	0		a8
0	0	0	0	0	0	0	Х8	Х9	Х10	Х11	Х12	0		a9
0	0	0	0	0	0	0	0	Х9	Х10	Х11	Х12	0		a10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	Х10	0	Х12	Х13		a11
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	Х11	Х12	Х13		a12
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	Х12	Х13		a13

 

    Для Расчета в среде Mathcad выделим коэффициент при неизвестных и заполним ими матрицу.

    Для этого щелкнем 2 раза ЛКМ по ярлыку Mathcad на рабочем столе.

    Перед нами откроется диалоговое окно:

    Чтобы ввести матрицу, нажмем на иконку матрицы, он стоит третьим слева в самой нижней панели:

    Нажав на него, на рабочем поле увидим окошко для работы с матрицей:

    Для создания матрицы сначала надо задать ей символьное обозначение (для последующего удобства работы с матрицей), например обозначим нашу матрицу "А", напишем с клавиатуры в любом месте рабочего поля "А=". Для создания самой матрицы, сразу после знака "=" , нажмем на значок матрицы.

    Наводя курсор мышки (но не нажимая), программа будет выдавать краткие сообщения о их функциях, а также горячие клавиши для их вызова.

    Теперь мы можем задать матрицу в конструкторе матриц. Здесь задаем, сколько строк и столбцов будет у матрицы. В нашем случае 13 строк и 13 столбцов. Нажимаем кнопку "ОК" в диалоговом окне или клавишу "Enter" на клавиатуре. Сразу же появится матрица, которую надо заполнить:

    Заполним таблицу:

        

    Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Для ввода оператора поиска обратной матрицы надо выделить необходимую матрицу. Кликните курсором в правую нижнюю ячейку и нажмите на клавиатуре стрелочку вправо " → " (матрица должна выделится синим цветом снизу и справа после скобки, как на картинке выше).

    Нажмите кнопку  (Inverse) на панели инструментов Matrix (Матрица). В правом верхнем углу матрицы появился значок "-1".

   

    В нашем случае матрица квадратная, а поскольку расчеты мы ведем в среде Mathcad, не обязательно находить детерминант, так как программа сама делает проверку. Если матрица не квадратная, программа выдаст соответствующее сообщение.

   

    Продолжим поиск обратной матрицы. Напишем "имя" нашей матрицы на рабочем поле, нажмем на клавиатуре "А", а затем "=" для вывода таблицы обратной матрицы.

    Обратная матрица найдена. Но, кроме обратной матрицы, надо найти еще матрицу констант (погрешностей измерения). Для того чтобы случайно не изменилось значение констант, зададим их с помощью букв.

    И, соответственно, создадим саму матрицу констант, назвав ее "К".

    Осталось перемножить обратную матрицу на матрицу констант. Для этого напишем с помощью клавиатуры " А* К = " на рабочем поле.

    Также в среде Mathcad предусмотрен альтернативный способ решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью функции:

    lsolve (M,v), где М - матрица коэффициентов системы, а v - матричный вектор; т.е. при использовании этой функции нам не нужно искать обратную матрицу, программа сразу выдаст искомую матрицу х выражения М*х=v.

    В нашем случае матрицей М является матрица коэффициентов при неизвестных, а вектором v - матрица констант. Для проверки ответа, полученного выше, воспользуемся данной функцией:

                

    Как видно из сравнения столбцов, СЛАУ решено верно и, таким образом, определены действительные значения масс гирь .

Результат работы

"набор №1"
500	200	100		50	20		10	5		2	1
499,99	199,985	99,99		49,993	19,991		9,995	4,996		1,996	0,997
"набор №2"
200*			20*			2*			1*
199,985			19,991			1,996			0,992

Выводы.

    Совместное использование экспериментальных данных и результатов расчетов позволяет решить задачу калибровки средств измерений(масс гирь), т.е. определения действительных значений физических величин с помощью совокупных измерений.

    В тоже время студенты получают возможность на практике использовать методологию решения систем линейных уравнений с помощью метода "обратной матрицы" на компьютерной базе Филиала.

    При этом такой вариант калибровки позволяет расширить диапазон средств измерений (масс физических величин) с сохранением класса точности при ограниченном числе эталонных масс, что является актуальным в метрологической практике.