Транспонированная форма

Рекурсивные фильтры

Если уравнение фильтрации содержит как входные, так и выходные отсчеты, для реализации такого фильтра в схему необходимо добавить вторую линию задержки — для хранения выходных отсчетов y(k – i).

Так как при вычислениях используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме присутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называют рекурсивными (recursive).

Количество предыдущих входных и выходных отсчетов, используемых для вычислений, может не совпадать. В таком случае порядком фильтра считается максимальное из чисел m и n.

Импульсная характеристика рекурсивного фильтра рассчитывается значительно сложнее, чем для нерекурсивного. Рассмотрим формирование лишь нескольких первых ее отсчетов. При поступлении на вход единичного импульса он умножается на b₀ и проходит на выход. Таким образом,

h(0) = b₀

Далее входной единичный импульс попадает во входную линию задержки, а выходной отсчет, равный b0 , — в выходную линию задержки. В результате второй отсчет импульсной характеристики будет формироваться как

h(1) = b₁ – a₁h(0) = b₁ – a₁b₀

Продолжив рассмотрение перемещения входного единичного импульса вдоль входной линии задержки и заполнения выходными отсчетами выходной линии задержки, можно получить

h(2) = b₂ – a₂h(0) – a­₁h(1) = b₂ – a₂b₀ – a₁(b₁ - b₀a₁) = b₂ – b₁a₁ – b₀a₂ + b₀a₁²

Видно, что по мере того, как выходная линия задержки заполняется отсчетами импульсной характеристики, сложность аналитических формул быстро возрастает.

Наличие в схеме обратных связей позволяет получить бесконечную импульсную характеристику, поэтому рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры; английский термин — infinite impulse response, IIR). По этой же причине рекурсивные фильтры могут быть неустойчивыми.

Следует отметить, что с помощью рекурсивной схемы можно реализовать и конечную импульсную характеристику

Формы реализации дискретных фильтров

Структурная схема, показанная ранее, называется прямой формой реализации рекурсивного фильтра (direct form I) и не является единственно возможной. Рассмотрим еще несколько вариантов.

Каноническая форма

Разделим общий сумматор в схеме на два отдельных — для рекурсивной и нерекурсивной частей фильтра. В результате получаем два последовательно соединенных фильтра, один из которых является нерекурсивным, а другой,

напротив, содержит только рекурсивную часть. Так как результат последовательного прохождения сигнала через ряд линейных стационарных устройств не зависит от последовательности их соединения, мы можем поменять местами две "половинки" нашего фильтра. Теперь остается заметить, что в обе линии задержки подается один и тот же сигнал, поэтому они будут содержать одинаковые наборы отсчетов. Это позволяет объединить линии задержки. Полученная в результате схема называется канонической формой реализации рекурсивного фильтра (canonic form или direct form II).

С теоретической точки зрения эти варианты эквивалентны. Однако при практической реализации необходимо обратить внимание на ряд особенностей, присущих этим схемам. С одной стороны, при канонической реализации используется общая линия задержки, что уменьшает число необходимых ячеек памяти. Однако при этом абсолютные величины отсчетов, "бегающих" в линии задержки, могут существенно превосходить амплитуду входного и выходного сигналов. Это приводит к необходимости увеличивать разрядность представления чисел в линии задержки по сравнению с разрядностью входного и выходного сигналов, что усложняет реализацию устройства. При прямой реализации в линиях задержки хранятся непосредственно отсчеты входного и выходного сигналов, т. е. повышенная разрядность линий задержки не требуется. Единственным элементом, требующим повышенной разрядности, в данном случае является сумматор, и это учтено в архитектуре микропроцессоров, специально предназначенных для обработки сигналов в реальном времени.

Транспонированная форма

Поменяем в схеме фильтра последовательность выполнения операций умножения и задержки, используя в каждой ветви отдельную линию задержки на нужное количество тактов. Разделим также общий сумматор на несколько двухвходовых сумматоров.

Теперь, рассмотрев любую пару соседних сумматоров, можно заметить, что суммируемые ими сигналы претерпевают некоторую общую задержку. Это дает возможность поменять местами операции суммирования и задержки.

Получившаяся схема называется транспонированной реализацией дискретного фильтра (direct transposed form II).

Если применить описанные преобразования к канонической структуре, получится еще один вариант транспонированной реализации фильтра (direct transposed form I). В отличие от предыдущей схемы, данная структура содержит большее число элементов памяти.