Закон всемирного тяготения

Какая сила заставляет тела падать, а планеты вращаться вокруг Солнца? Ответ на этот вопрос знает сейчас любой школьник: это сила гравитационного притяжения (лат. gravitas - тяжесть), описываемая Законом всемирного тяготения (ЗВТ) открытым великим английским физиком Исааком Ньютоном. Не следует думать, что Ньютон открыл Закон в результате интеллектуального озарения или под воздействием известного падающего яблока. Он сам говорил: ²Я велик лишь потому, что стою на плечах гигантов². И все же приоритет Ньютона в открытии Закона неоспорим.

ЗВТ мог быть открыт ещё в III веке до нашей эры, когда греческие учёные предположили, что морские приливы и отливы на Земле происходят под влиянием Солнца и Луны. В 1596 году немецкий астроном Иоганн Кеплер в книге ²Тайна Вселенной² смело утверждал, что Луна движется вследствие земного притяжения. Но формула ЗВТ Кеплером предложена не была, хотя в то время физики уже и знали закон обратных квадратов. В 1666 году английский физик Роберт Гук экспериментально доказал зависимость веса тела от высоты над поверхностью Земли. А в 1680 году Гук сообщил в письме Ньютону, что сила взаимодействия между планетами и Солнцем, Землёй и Луной, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Но Ньютон сам уже знал об этом и до письма Гука известил (также в виде писем) о своём открытии узкий круг научной общественности.

Каким же образом появилась легенда о падающем яблоке? Осенью 1665 года 22-летний Ньютон окончил Кембриджский колледж и, спасаясь от эпидемии чумы, охватившей Англию, уехал домой в деревню. При доме был сад, в саду – яблоня, были вечерние прогулки в саду, а зрелым яблокам свойственно падать с ветвей на землю. Всё это так, как верно и то, что Ньютона уже давно интересовала загадка падения тел. Известно, что именно в ту осень в одном из писем он скупо сообщил о своей догадке. Но прошло ещё 20 лет, прежде чем добросовестный учёный, проведя скрупулезные расчёты и эксперименты, решился опубликовать результаты своих исследований в вышедшей в 1687 году книге ²Математические начала натуральной философии².

Открытый Ньютоном ЗВТгласит, что любые два тела с массами m₁и m₂притягиваются друг к другу с силой , прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между центрами масс этих тел:  .   

Значение гравитационной постояннойGбыло определено в 1798 г. английским физиком Генри Кавендишем с помощью крутильных весов. Они состояли из деревянного коромысла 83 см длиной, выбранного так, чтобы соединить в себе большую прочность с малым весом. Коромысло подвесили в горизонтальном положении посредством тонкой проволоки длиной 1 м, на каждом из его концов укрепили по свинцовому шарику диаметром 5 см; для защиты от ветра крутильные весы поместили в контейнер. В одной горизонтальной плоскости с коромыслом разместили два массивных (по сравнению с шариками) шара диаметром 20 см и массами по 158 кг. Вследствие гравитационного притяжения шариков и шаров проволока подвеса немного закручивалась, по углу закручивания рассчитали величину гравитационной постоянной. Её значение оказалось равно: G = 6,673 ×10^-11 (Н×м²/кг²).

Знание величины Gпозволило Кавендишу в том же 1798 г. «взвесить» Солнце, Землю и другие планеты, т.е. вычислить значения их масс. Последовали и другие открытия. Внимание учёных привлёк необычный, не согласующийся с расчётами по ЗВТ, характер движения планеты Уран. Для объяснения отклонений траектории Урана от эллиптической орбиты петербургский астроном Лексель предположил наличие неизвестной в то время заурановой планеты. Расчёты положения этой планеты были переданы немецкому астроному Галле, который в тот же вечер 23 сентября 1846 года обнаружил в указанной точке неба новую планету - Нептун. Со временем оказалось, что движение Урана нельзя объяснить только влиянием притяжения Нептуна. Более точные расчёты с помощью ЗВТ позволили по отклонениям траектории Урана определить орбиту девятой планеты Солнечной системы - Плутона.

Отметим, что: 1) ЗВТсправедлив только для материальных точек и сферических тел (иначе надо выполнить интегрирование по элементарным объёмам, составляющим тело); 2) радиус действия гравитационной силы ® ¥.

Для тела массой mна поверхности планеты массой Mи радиусом RЗВТимеет вид: ; если же тело приподнято над поверхностью планеты на высоту h, то:  .

Какова же природа тяготения? На протяжении многих лет Ньютон пытался найти причину тяготения. Он обратил внимание на то, что силы притяжения действуют через сотни миллионов километров, казалось бы, пустого пространства. Интуитивно Ньютон не мог принять этого. В поисках решения Ньютон обращается к предположению о существовании особой среды - эфира, по которому распространяется действие тяготения. После ряда попыток применить эту теорию он отказался от гипотезы эфира: «Причину свойств тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений. Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным мной законам, которого вполне достаточно для объяснения движения небесных тел и моря» (ЗВТ позволил объяснить и явление морских приливов).

Объяснить гравитационное взаимодействие удалось с помощью понятия особого вида материи - гравитационного поля.Что же люди знают о нём? То, что: 1) оно материально; 2) порождается всеми объектами, имеющими массу, и действует на все другие материальные объекты; 3) скорость распространения равна скорости света (экспериментов, подтверждающих этот вывод теории относительности, пока выполнить не удалось); 4) от него пока не нашли экрана (для этого необходимо иметь тело с отрицательной массой).

Применения ЗВТ: 1) расчёт траекторий полёта небесных тел, космических кораблей, снарядов и т.п.; 2) астрономия и космология (описание таких объектов, как «чёрные дыры», квазары и т.п.); 3) расчёты гравитационного отклонения световых лучей у массивных звёзд.

2.2. Ускорение свободного падения ( )

Это ускорение, с которым тело массой mдвижется в свободном пространстве под действием силы тяжести, т.е.: . Но у поверхности планеты (при h<<R)F_гр= . Тогда , т.е. у поверхности планеты в пустоте все тела (независимо от их массы) под действием силы тяжести приобретают одно и то же ускорение свободного падения, величина которого определяется только массой и радиусом планеты.

Для Земли ( ) среднее значение ускорения свободного падения:g⁺ » 9,81 м/с².Однако, вследствие центробежной силы ( ), обусловленной вращением Земли вокруг своей оси, величина g⁺ зависит от географической широты. Земля имеет форму не идеального шара, а эллипсоида, сжатого у полюсов (полярный радиус Земли на 22 км меньше её экваториального радиуса). Поэтому у экватора g⁺» 9,78 м/с², а на полюсах g⁺»9,83 м/с².

В общем случае величина gзависит не только от массы и радиуса планеты (например, на Венере g»3,6×g⁺, а на Юпитере g»10×g⁺),но и от расстояния h от тела до поверхности планеты:g=G× . С ростом h значение gуменьшается. Например, при h=100 км значение g⁺ уменьшается на 3%, а на орбите Луны (h »400000 км) - g⁺ равно всего 0,003 м/с².

Вес и невесомость

У поверхности планеты на все тела со стороны планеты действует гравитационная сила, называемая в этом случае силой тяжести: F_т = .

Введём ещё одну физическую величину, отличную от силы тяжести и называемую весом тела. Вес тела( ) - это сила, с которой тело действует на горизонтальную подставку или нить подвеса. Вес тела зависит не только от величины g, но и от ускорения , с которым движется тело. При ускоренном движении вдоль вертикали возможны два случая:

а)ускоренное движение вверх. При этом на тело действует сила натяжения нити , направленная вверх и сообщающая ему ускорение . По 3-му закону Ньютона вес тела , причём . Но по 2-му закону: , откуда (с учётом противоположности направления  и ) имеем:  Þ .

б) Ускоренное движение вниз. В этом случае ускорение  совпадает по направлению с , поэтому уравнение движения тела примет вид: , откуда: .

Как видим, в случае б), при a=g,получим Р = 0(где Т - сила реакции опоры), а это и есть невесомость.

Невесомость не означает отсутствие гравитационного поля, а только лишь то, что тело не давит на опору. В состоянии невесомости на тело действует только сила тяжести F_т,под действием которой тело свободно падает. Для того чтобы испытать состояние невесомости, достаточно подпрыгнуть и, до тех пор, пока ваши ноги не коснутся земли (пола), вы находитесь в невесомости.

Космические скорости

Это скорости, необходимые для того, чтобы тело стало либо искусственным спутником Земли, либо микро планетой Солнечной системы, либо могло бы выйти за пределы этой системы или нашей галактики.

1-я космическая скорость ( ) - это скорость, необходимая для того, чтобы тело стало спутником Земли. В предельном случае минимальной скорости оно должно иметь круговую орбиту. При круговой траектории (орбите) центробежная сила  должна уравновешиваться силой гравитационного притяжения тела к Земле , т.е. = - = G× ,откуда:  =  =  =  » м/с, где =6×10²⁴ кг - масса Земли, » 6400 км - радиус Земли.

При , траектория полета тела вокруг Земли - эллипс.

2-я космическая скорость ( ) - это скорость, необходимая для того, чтобы тело стало спутником Солнца. В этом случае телу надо сообщить кинетическую энергию E_к,равную работе  по его перемещению с Земли ( ) в бесконечность, где гравитационным полем Земли можно пренебречь. 

Рассчитаем величину  с учётом того факта, что по мере удаления от Земли сила тяготения  уменьшается:

Из равенства E_к=  имеем:  = , откуда: 

= = =  11,2 км/с.

3-я космическая скорость ( ) - это скорость, необходимая для выхода тела за пределы Солнечной системы. В этом случае телу надо сообщить энергию E_к, равную работе  по перемещению его с орбиты Земли ( ) в бесконечность, где гравитационным полем Солнца можно пренебречь. 

По аналогии с  можно показать, что:  = . Тогда, из E_к=  получим: 42,4км/с.

 Однако можно воспользоваться тем, что Земля перемещается вокруг Солнца по эллиптической орбите со скоростью » 30 км/с, и запускать ракету (тело) в направлении движения Земли. В этом случае, вследствие сложения скоростей Земли и ракеты,  » 12,4 км/с. Если же учесть ещё и тот факт, что ракете надо вырваться из гравитационных «объятий» Земли, то окончательно получим » 16,7 км/с.

4-я косм. скорость ( ) - это скорость, необходимая для того, чтобы тело вышло за пределы галактики (Млечного Пути). Наблюдения показали, что в Галактике нет звёзд, движущихся с >285 км/с. Значит звёзды, двигавшиеся с большими скоростями, покинули Галактику, поэтому, »285 км/с.