Преобразование исходной структурной схемы

Рис.2 - Преобразование звена охваченного обратной связью.

Рис.3 – Преобразование последовательного соединения звеньев.

Рис.4 - Преобразование звена охваченной обратной связью.

Рис.5 – Упрощенная схема замкнутой системы.

Рис.6 – Упрощенная схема разомкнутой системы.

Рис.7 – Звено охваченное обратной связью по ошибке .

 

Рис.8 – Упрощенная схема системы по ошибке.

 

Вычисление передаточных функций

 

· Вычисление передаточной функции замкнутой системы

; ; ;

 - передаточная функция замкнутой системы;

 

· Вычисление передаточной функции разомкнутой системы

; ; ;

;

 - передаточная функция разомкнутой системы;

 

· Вычисление передаточной функции системы по ошибке

; ;

 - передаточная функция системы по ошибке;

Расчеты на устойчивость

Критерий Гурвица

Для того чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

Согласно критерию Гурвица система устойчива.

 

Критерий Михайлова

Система устойчива, если годограф Михайлова G(jω) при изменении от 0 до + ∞, начинаясь на положительной части действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и в n-м квадранте уходил в бесконечность.

Рассмотрим замкнутую цепь.

.

 

 

ω=0

ω=∞

Рис.9. Годограф Михайлова.

На основании полученного графика, можем сказать, что кривая Михайлова проходит через 2 квадранта − это соответствует устойчивости для системы второго порядка.

 

Критерий Найквиста

Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой цепи необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами (-1;0).

Передаточная характеристика для разомкнутой цепи:

Приведем к виду W(jω)=U(ω)+jV(ω):

 

На основании полученных данных строим АФЧХ разомкнутой цепи:

Таблица №1. Данные для построения графика АФЧХ

ω	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	1
X( ω )	0,1	0,0990	0,0961	0,0917	0,0861	0,0798	0,0733	0,0668	0,0606	0,0495
Y( ω )	0	-0,0100	-0,0194	-0,0278	-0,0348	-0,0404	-0,0446	-0,0474	-0,0493	-0,0505
ω	1,2	1,4	1,6	2	2,5	3	4	6	10	∞
X( ω )	0,0404	0,0331	0,0274	0,0192	0,0129	0,0091	0,0049	0,0017	0,00001	0
Y( ω )	-0,0497	-0,0478	-0,0454	-0,0404	-0,0348	-0,0303	-0,0237	-0,0163	-0,0099	0,0000

 

A(-1;0)

ω=∞

ω=0

∆A≈ 1

Рис.10. Годограф Найквиста

Из рисунка 10 видно, что АФЧХ разомкнутой цепи не охватывает точку (-1;0), следовательно, ввиду устойчивости разомкнутой системы, можно говорить о том, что и замкнутая система устойчива.