Механическая система состоит из 2-х балок ВС и АС, соединённых между собой цилиндрическим шарниром С. В точке А балка СА закрепляется в вертикальной стенке с помощью жёсткой заделки, в точке В – с помощью невесомого стержня ВD. Система нагружена равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q, парой сил с моментом М и силой Р1.
Определить реакции в точках А, В, С . Весом балок и трением в шарнирах пренебречь.
Дано: q = 4,8 кН/м, Р1 = 1,5 кН, М = 1 кН ×м, a = 1,2 м, a= 60о, b = 30 о
a
P 1
𝛽
M
q
α
м
кН
град
кНм
кН/м
град
1,2
1,5
30
1
4,8
60
Рис. 1
Расчётные схемы и уравнения равновесия
Поскольку система состоит из двух тел, то рассмотрим равновесие каждого из них.
Балка ВС (рис. 2)
Рис. 2
Рассмотрим равновесие балки ВС:
- активные силы, действующие на балку ВС: равномерно распределённую нагрузку интенсивностью q заменяем сосредоточенной силой Q = 5aq, точка приложения силы Q – точка Е; модуль силы Q равен Q = 5q × a = 5 × 4,8 × 1,2 = 28,80; (кН)
- связи: в точке В – невесомый стержень, реакция которого RB (см. рис.2); в точке С – цилиндрический шарнир, составляющие реакции которого: R CX , R CY (см. рис.2).
Таким образом, на балку ВС действует система сил: (Q, RB, RCX, RCY) – Балка находится в равновесии, значит выполняются следующие условия:
SFKX = 0,
SFKY = 0,
SmC(FK) = 0.
Для балки ВС (см. рис. 2):
1) SFKX = RB + RCX – Q × sin a = 0,
2) SFKY = RCY – Q × cos a = 0,
3) SmC(FK) = Q × 2,5a – RB × 5a × sin a = 0.
Балка СА (рис. 3)
Рис. 3
Рассмотрим равновесие балки АС:
- активные силы, действующие на балку АС: сила Р1, момент М;
- связи: в точке А – жёсткая заделка, реакция состоит из силы реакции (направление её заранее неизвестно, поэтому силу раскладываем на составляющие RAX, RAY ) и пары сил с моментом МА; в точке С – цилиндрический шарнир, составляющие реакции которого R’CX, R’CY (см. рис. 3), которые согласно третьему закону Ньютона направлены противоположно соответствующим реакциям балки ВС.
Уравнения равновесия балки АС:
4) SFKX = RAX – R’CX + P1 × cos b = 0,
5) SFKY = RAY – R’CY – P1 × sin b = 0,
6) SmC(FK) = M + MA – (P1 × sin b) × 3a + RAY × 5a = 0.
Решение системы уравнений
а) Аналитический метод:
Перепишем систему уравнений, принимая во внимание, что R’CX = RCX и R’CY = RCY (модули этих сил равны).
RB + RCX – Q × sin a = 0, (1)
RCY – Q × cos a = 0, (2)
Q × 2,5a – RB × 5a × sin a = 0, (3)
RAX – RCX + P1 × cos b = 0, (4)
RAY – RCY – P1 × sin b = 0, (5)
M + MA – P1 × 3a × sin b + RAY × 5a = 0. (6)
Решим систему методом подстановки.
Из уравнений (2) и (3) следует:
RCY = Q × cos a =14,40 (кН) (7)
RB = = 16,63(кН) (8)
Подставив RCY в уравнение (5), получим:
RAY – Q × cos a – P1 × sin b = 0, откуда
RAY = Q × cos a + P1 × sin b = 15,15 (кН); (9)
Далее из (6):
MA = P1 × 3a × sin b – M – (Q × cos a + P1 × sin b) × 5a =
= – M – Q × 5a × cos a – P1 × 2a × sin b
Окончательно:
MA = – M – Q×5a×cos a – P1×2a×sin b = – 89,2 (кН); (10)
Из уравнения (1) следует:
RCX = Q×sin a – RB = Q×sin a – = 8,31(кН);
Наконец, из уравнения (4) находим RAX:
RAX = RCX – P1 × cos b = ;
RAX = Q× sin a – – P1×cos b = 7,26 (кН); (12)
Проверка
Для проверки полученных результатов необходимо составить расчётную схему для всей системы в целом (рис. 5).
Для проверки составим такое уравнение, чтобы в него вошли все искомые величины. Это будет уравнение моментов относительно точки Е.
SmE(FK) = 0; (14)
RAX × 2,5a × sin a + RAY × (5a + 2,5a × cos a)+MA+M – RB × 2,5a
´ sin a + P1 × cos b × 2,5a × sin a – P1 × sin b ´ (3a + 2,5a × cos a) = 0
После подстановки в последнее уравнение значений RB, MA, RAX, RAY, полученных при определённом угле b, при правильных результатах должно быть 0 @ 0.
Рис. 5
Процент ошибки должен составлять не более 5% от значения максимальной величины, входящей в это уравнение.
Так, например, взяв из табл. 1 результаты расчетов для угла b = 300, получим:
2019-11-20
335
Обсуждений (0)
балка СА закрепляется в вертикальной стенке с помощью жёсткой заделки, в точке В – с помощью невесомого стержня ВD. Система нагружена равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q, парой сил с моментом М и силой Р1.
RB + RCX – Q × sin a = 0, (1)
Из уравнения (1) следует:
RAX = Q× sin a – – P1×cos b = 7,26 (кН); (12)
