Вторая форма условий равновесия

Условия равновесия произвольной системы сил

Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю. Иначе говоря, необходимы и достаточны условия:

.                                                                                      (6.1)

Из векторных условий равновесия пространственной системы сил следует шесть уравнений:

        (6.2)

Для равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций на координатные оси были равны нулю. Суммы моментов всех сил относительно каждой из осей координат также должны быть равны нулю.

Равновесие плоской системы сил

Найдем вытекающие из (6.2) аналитические условия равновесия плоской системы сил. Их можно получить в трех различных формах.

Рассмотрим основную форму условий равновесия.

Вектор  равен нулю, когда его проекции R_x и R_y равны нулю. Следовательно, для равновесия должны выполняться равенства R_x=0, R_y=0 и M ₀ =0, где в данном случае M ₀ - алгебраический момент относительно любого центра приведения в плоскости действия сил. Отсюда имеем три условия равновесия:

,                                           (6.3)

т.е. для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на любые две оси (например, оси x и y ) были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю.

Реакции заделки

Рассмотрим балку АВ, один конец которой заделан в стену. Такое крепление палки называют заделкой в точке А (рис.6.1а,б).

Жесткое закрепление, или заделка, не допускает поворота опорного сечения и перемещения его ни в каком направлении, т.е. на это сечение наложено три связи, оно лишает опорное сечение трех степеней свободы. В такой опоре возникают вертикальная V_A и горизонтальная H_A составляющие опорной реакции и момент M_A.

а		б
Рис.6.1

Балка с одним жестко закрепленным концом называется консольной балкой, или консолью. Балка, в которой количество неизвестных опорных реакций равно количеству независимых уравнений равновесия, называется статически определимой. Если число реакций превышает число уравнений равновесия, то балка называется статически неопределимой (рис.6.2а).

а   б		Особый случай представляет балка с промежуточным шарниром (рис.6.2б). Особенностью такой балки является то, что вертикальное и горизонтальное перемещения сечений слева и справа от шарнира С одинаковы,
	Рис.6.2	а углы поворота могут быть

различны.

Следовательно, возникает дополнительная степень свободы, и балка будет лишена только трех степеней свободы (3+1-1=3). Поэтому такая балка статически определима.

Рассмотрим пример консольной балки. Дано: ,  L , . Балка нагружена, как показано на рис.6.3а.

Применив метод сечения, рассмотрим равновесие балки АВ (рис.6.3б).

Запишем уравнения равновесия (6.3) и решим их.

Следует отметить, что для определения момента силы Р в вычислениях была использована теорема Вариньона.

Проверка:

Вторая форма условий равновесия

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось, неперпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:

                                     (6.4)

Необходимость этих условий очевидна, так как если любое из них не выполняется, то или , или  и равновесия не будет. Докажем достаточность.

Если для рассматриваемой системы сил выполняется первые два условия из (6.4), то M_A =0, M_B =0. При этом данная система может иметь Покажем, что это не так.

	Из условия  следует, что  (рис. 6.4). Но , так как ось ОX не перпендикулярна прямой, проходящей через точки А и В. Следовательно, равнодействующая R
Рис.6.4

равна нулю, что и доказывает достаточность условий (6.4).

Вторую форму уравнений равновесия удобно применять для шарнирно опертых балок. Рассмотрим для примера равновесие балки АВ, нагруженной, как показано на рис.6.5а, опертую на шарнирно-подвижную опору в точке А  и шарнирно-неподвижную опору в точке В. Дано: P = 10 k Н, q = 4 k Н/м, L = 6 м, a = 30 ° .

Используя метод сечения, отбросим связи и заменим их соответствующими реакциями (рис.6.5б). Распределенную нагрузку интенсивностью q заменим ее равнодействующей. Запишем уравнения равновесия (6.4) для заданной системы сил:

Сделаем проверку. Ясно, что при равновесии проекции сил на ось Y также должны быть равны нулю.

Проверим это: