Теоретическое обоснование метода
I . Введение Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели. Лейбниц
Одним из методов решения неравенств является метод рационализации. Этот метод известен уже около 50 лет. В разных источниках его называют по разному: метод декомпозиции, метод замены множителей, обобщенный метод интервалов. Решение нестандартных неравенств сопряжено со многими техническими сложностями, что чревато как логическими, так и вычислительными ошибками. Применение стандартных способов решения неравенств часто бывает затруднительным или невозможным. Метод рационализации позволяет избежать многих нежелательных осложнений и ускорить процесс решения неравенств. II. Решение неравенств методом рационализации. Теоретическое обоснование метода Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F( x) на более простое выражение G( x)(в конечном счете, рациональное), при котором неравенство G( x) 0 равносильно неравенству F( x) 0 в области определения выражения F( x)(символ заменяет один из знаков >, <, ). Выделим некоторые типовые выражения F и соответствующие им рационализующие выражения G, где f, g, h, p, q- выражения с переменной х (h> 0;h≠ 1; f> 0, g> 0), a - фиксированное число (a> 0, a≠ 1).
Замена некоторых типовых выражений
Некоторые следствия (с учетом области определения неравенства): 1. 2. 3. 4. В указанных равносильных переходах символ заменяет один из знаков >, <, . Докажем справедливость замен 1- 6, представленных в таблице. Доказательство. 1. Пусть , то есть , причёмa > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0. Если 0 < a <1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g . Значит, выполняется система неравенств откуда следует неравенство ,верное на области определения выраженияF = . Если a > 1, то f > g . Следовательно, имеет место неравенство . Обратно, если выполняется неравенство на области допустимых значений ( a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств и Из каждой системы следует неравенство , то есть . Аналогично, рассматриваются неравенства вида F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0. 2. Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем: = Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения или . 3. Так как = , то, используя замены 2а и 2б из таблицы, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения , или . 4. Из неравенства следует . Пусть число а > 1, тогда ,или . Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем Аналогично доказываются неравенства F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0. 5. Доказательство проводится аналогично доказательству 4. 6. Доказательство замены 6следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p 2 > q 2 ( | p | < | q | и p 2 < q 2 ).
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (283)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |