Временные характеристики динамического звена
Теоретическая часть Типовые звенья и их характеристики. Передаточные функции.
Понятие линейного динамического звена
В радиоавтоматике для анализа и при синтезе системы автоматизированного управления (САУ) удобно представлять в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов – динамических звеньев. Под динамическим звеном понимают в общем случае абстрактное устройство, имеющее вход и выход, и для которого задано уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе, как это показано на рис. 1.
Рис. 1
Подробное изучение свойств реальных объектов управления и систем автоматического управления приводит к описанию динамических звеньев в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Но во многих случаях их можно линеаризовать, то есть заменить нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системах. Тем самым осуществляется декомпозиция задач анализа и синтеза систем, то есть первоначально используют линейное представление, а затем осуществляют учет вносимых нелинейностями особенностей. Такому подходу способствует то, что, в большинстве случаев, нормально функционирующая система работает в режиме малых отклонений, при которых нелинейности не проявляются. Если уравнение, связывающее сигналы и , линейно, то говорят о линейном динамическом звене Уравнение линейного динамического звена имеет следующий общий вид:
где - постоянные коэффициенты, .
Использовать такое описание динамического звена в задачах анализа и синтеза систем и объектов управления не рационально, поэтому существуют и иные формы описания и представления динамических звеньев и систем в целом.
Передаточная функция
Подвергнем уравнение (1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями по Лапласу . Используя теоремы преобразования Лапласа линейности и дифференцирования, получим операторное уравнение, связывающие изображения входного и выходного сигналов
Преобразуем уравнение (2) к следующему виду
Получим из (3) отношение изображений выходного и входного сигналов
Отношение (4) не зависит от изображений сигналов, определяется только параметрами самого динамического звена ( ), имеет вид дробно-рациональной функции. Отношение изображений выходного и входного сигналов называют передаточной функцией динамического звена . Уравнение вида , называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции – это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.
Пример
Определим передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме Рис. 2 Решение: По второму закону Кирхгоффа запишем уравнения описывающие схему С учетом того, что , получаем Получим операторные уравнения Из второго уравнения выразим значение изображения тока Подставим полученное выражение в первое уравнение системы . В итоге получаем искомую передаточную функцию .
Структурная схема
Графически передаточные функции динамического звена представляют в следующем виде: Рис. 3 Если известно изображение входного сигнала и передаточная функция динамического звена, всегда можно найти изображение выходного сигнала при нулевых начальных условиях .(5) В общем случае САУ состоит из множества динамических звеньев, сигналы с выходов звеньев могут суммироваться или вычитаться, суммироваться с внешними для САУ сигналами. Суммирование и вычитание изображений сигналов могут быть представлено графически с помощью суммирующих звеньев: 1. 2. Показанная выше неоднозначность графического представления вычитания изображений на суммирующем элементе связана с различием в стандартах разных стран. Используя графическое представление передаточных функций звеньев и суммирующие звенья, можно в графической форме представить операторные уравнения, описывающие САУ. Такое графическое представление операторных уравнений в ТАУ называют структурной схемой. Пример По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта. Решение: Получим систему операторных уравнений, подвергнув исходную систему дифференциальных уравнений преобразованию Лапласа и заменив оригиналы изображениями, Из первого уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим . Тогда передаточная функция этого звена имеет вид , а выражение описывает суммирующее звено . Таким образом, получены два фрагмента структурной схемы Из второго уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим, вводя обозначение, . Тогда передаточная функция этого звена имеет вид , а выражение описывает суммирующее звено . Таким образом, получены еще два фрагмента структурной схемы Соединим все фрагменты структурной схемы объекта управления, объединяя одноименные сигналы, либо разветвляя их с помощью точек ветвления , показанных на схеме. В результате получим
Временные характеристики динамического звена
Временной или импульсной характеристикой динамического звена называют реакцию звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид – Рис. 4 Выясним, что представляет собой временная характеристика, то есть почему ее называют характеристикой динамического звена? Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией Рис. 5 В этом случае, в соответствии с (5), имеем . Таким образом Получаем, что передаточная функция звена – это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена. В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции , при использовании разложения в форму Хэвисайта и обратное преобразование Лапласа. Знание импульсной характеристики позволяет определить реакцию динамического звена на сигнал любой формы. Для динамического звена с передаточной функцией преобразуем (5), используя теорему об умножении изображений преобразования Лапласа, , а если легко получить , тогда . Переходной характеристикой или переходной функцией динамического звена называют реакцию динамического звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид – Рис. 6 Для анализа переходной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией Рис. 7 В этом случае, в соответствии с (5), имеем . По теореме об интегрировании оригинала имеем Переходная функция является интегралом по времени от импульсной характеристике и наоборот . Переходная характеристика динамического звена может быть определена по передаточной функции
Вернуться к содержанию
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (440)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |