требующие только знания формулировок и формул.

Вопросы к зачёту (математика, 11-й класс,                                                                          3-й семестр, 2019 – 2020-й учебный год).

Часть 1. Вопросы к зачёту по математике,

Требующие доказательств и формулы, требующие вывода.

 

№ 1.1 Определение локального экстремума функции. Основные теоремы дифференциального исчисления. Доказательство теоремы Ферма.

№ 1.2 Доказательство теорем Ролля и Лагранжа.

№ 1.3. Признаки локального возрастания и убывания функции.

№ 1.4. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке.

№ 1.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

№ 1.6. Асимптоты графика функции.

№ 1.7. Общая схема исследования функции и построения её графика.

№ 1.8. Дифференциал (определение). Дифференцируемость функции в точке. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции (с доказательством). Дифференциал – главная линейная часть приращения функции.

№ 1.9. Дифференциал (определение).  Геометрический смысл и правила нахождения дифференциала. Теорема об инвариантности формы первого дифференциала (с доказательством). 

№ 1.10. Уравнение-следствие на множестве. Преобразования, приводящие к уравнению-следствию.

№ 1.11. Равносильность уравнений на множестве. Равносильные преобразования уравнений.  

№ 1.12. Неравенство-следствие на множестве. Равносильность неравенств на множестве.  Равносильные преобразования неравенств (с обоснованием).

 № 1.13. Системы и совокупности уравнений и неравенств. Равносильность уравнений и неравенств системам и совокупностям. Основные равносильные переходы (с обоснованием).

№ 1.14. Распадающиеся уравнения, метод их решения. Нестрогие неравенства. Равносильность систем. Система-следствие. 

№ 1.15. Прямая на плоскости. Линейность уравнения прямой и обратное утверждение. Направляющий и нормальный векторы.

№ 1.16. Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой (с доказательством).

 № 1.17. Плоскость. Линейность уравнения плоскости и обратное утверждение (с доказательством). Нормальный вектор.

№ 1.18. Векторное, параметрическое, «в отрезках» и нормальное уравнения плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости (с выводом).

№ 1.19. Прямая в пространстве. Прямая как пересечение двух плоскостей. Виды уравнений прямой (векторное, параметрические, канонические).

№ 1.20. Части, доли и соотношения. Проценты: простые и сложные.

№ 1.21. Задачи на кредиты. Дифференцированные платежи. Методы решения.

№ 1.22. Задачи на кредиты. Аннуитетные платежи.

№ 1.23. Элементы комбинаторики. Перестановки, сочетания и размещения без повторений. Примеры.  

№ 1.24. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Свойства биномиальных коэффициентов. Связь с комбинаторикой.

Часть 2. Вопросы к зачёту по математике,

требующие только знания формулировок и формул.

№ 2.1: Определение призмы, её оснований, боковых граней, боковой поверхности, боковых рёбер, полной поверхности. Определение прямой и наклонной призмы, правильной призмы, высоты призмы, диагонали призмы. (§11, пункт 11.1)

№ 2.2: Определение призмы . (§11), теорема о площади боковой поверхности прямой призмы (теорема 11, стр. 90, в новом учебнике – теорема 12, стр.92), теорема о площади боковой поверхности наклонной призмы (теорема 12, стр.92, в новом учебнике – теорема 13, стр. 94), теоремы об объёме призмы (теорема 13, стр.93 и теорема 14, стр.94, в новом учебнике – теорема 14, стр. 95 и теорема 15, стр. 96).

№ 2.3: Определение параллелепипеда, его противоположных граней и рёбер. Определение прямого и прямоугольного параллелепипеда (§12, пункт 12.1). Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда (теорема 15, стр.97, в новом учебнике – теорема 16, стр.99). Формула объёма прямоугольного параллелепипеда (стр. 84, в новом учебнике – стр. 86 и (§12, пункт 12.2)). Определение куба                    (стр. 102, в новом учебнике – стр. 104).

№ 2.4: Определение пирамиды, её основания, боковых граней, вершины, боковых рёбер, высоты. Определение тетраэдра (§14, пункт 14.1).

№ 2.5: Определение пирамиды (стр. 109, в новом учебнике стр. 111). Свойство основания высоты пирамиды, у которой: а) все боковые рёбра составляют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые рёбра равны; в) все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы (стр. 110 – 112, в новом учебнике         стр. 112 - 114). 

№ 2.6: Определение пирамиды (стр. 109, в новом учебнике стр. 111), правильной пирамиды (стр. 112, в новом учебнике стр. 114), апофемы (стр. 114, в новом учебнике стр. 116 - 117). Определение площади боковой и полной поверхности пирамиды (§14, пункт 14.4, стр.117, в новом учебнике стр. 119 - 120). Теоремы о площади боковой поверхности пирамиды (теорема 17, стр. 117 и теорема 18, стр. 118, в новом учебнике – теорема 18, стр. 120 и теорема 19 стр. 120 - 121). Формула объёма пирамиды (пункт 14.7). 

№ 2.7: Определения усечённой пирамиды, её нижнего и верхнего оснований, боковых граней, высоты усечённой пирамиды, правильной усечённой пирамиды, её апофемы. Определения боковой и полной поверхностей усечённой пирамиды (§14, пункт 14.6). Формула объёма усечённой пирамиды (теорема 23, стр. 127, в новом учебнике – теорема 24 стр. 130 - 131).

№ 2.8: Определение цилиндра, его верхнего и нижнего оснований, боковой и полной поверхностей цилиндра. Определение оси, высоты и образующей цилиндра (§17, пункт 17.1).

№ 2.9: Определение цилиндра (стр. 142, в новом учебнике – стр. 150). Развёртка цилиндра. Формулы боковой и полной поверхностей цилиндра (§17, пункт 17.3). Определение призмы, вписанной в цилиндр и описанной около него (стр. 148, 149, в новом учебнике – стр. 156). Формула объёма цилиндра (§17, пункт 17.5).

№ 2.10: Определение конуса, его основания и радиуса основания, вершины, высоты, оси, образующих, боковой и полной поверхностей (§18, пункт 18.1), осевого сечения (§18, пункт 18.2).

№ 2.11: Определение конуса (стр. 154, в новом учебнике – стр. 162). Развёртка конуса. Формулы площади боковой и полной поверхностей (§18, пункт 18.5), объёма конуса (§18, пункт 18.10). Определение пирамиды, вписанной в конус и описанной около него (стр. 163, 164, в новом учебнике – стр. 170 - 171).

№ 2.12: Определение усечённого конуса, его нижнего и верхнего оснований, высоты, боковой и полной поверхностей, образующей (§18, пункт 18.8). Формулы площадей боковой и полной поверхностей усечённого конуса(§18, пункт 18.9), его объёма (§18, пункт 18.10).

№ 2.13: Определение сферы и шара, их радиуса (§19, пункт 19.1). Уравнение сферы (§19, пункт 19.3). Формулы площади сферы (§19, пункт 19.7) и объёма шара (§19, пункт 19.8). Определение сферы и шара, вписанных в цилиндр, конус, многогранник и описанных вокруг них (пункт 19.6).

№ 2.14: Определение скалярного произведения векторов. Формула для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе (без вывода). Вычисление косинуса угла между ненулевыми векторами и прямыми (без вывода). Условие перпендикулярности векторов (без доказательства). 

№ 2.15: Определение векторного произведения векторов. Применение векторного произведения векторов для вычисления площади параллелограмма и треугольника и вектора нормали к плоскости (без доказательства). Вычисление векторного произведения в прямоугольной декартовой системе координат (без вывода).

№ 2.16: Определение смешанного произведения трёх векторов. Вычисление смешанного произведения векторов в прямоугольной декартовой системе координат (без вывода). Формулы объёмов параллелепипеда и тетраэдра с использованием смешанного произведения (без вывода). Признак компланарности векторов (без доказательства).

№ 2.17: Определение производной функции в точке и на множестве. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции в точке (без вывода).

№ 2.18: Таблица производных элементарных функций (без вывода).

№ 2.19: Определение перпендикулярности прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (без доказательства). Теорема о трёх перпендикулярах (без доказательства).

№ 2.20: Определение двугранного угла, линейного угла двугранного угла, угла между плоскостями и угла между прямой и плоскостью. Определение перпендикулярных плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей.

№ 2.21: Логарифм числа (определение). График логарифмической функции. Основные свойства логарифмической функции (без доказательства). Логарифмические формулы (без вывода).

№ 2.22: Тригонометрические формулы сложения и двойного угла (без вывода).

№ 2.23: Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение и произведения тригонометрических функций – в сумму или разность (без вывода).

№ 2.24: Формулы понижения степени. Универсальная тригонометрическая подстановка (без вывода). Формулы преобразования выражений вида  с помощью дополнительного аргумента (без вывода). 

Примечание: к вопросам по геометрическим фигурам указаны страницы и параграфы из учебника Е.В.Потоскуева, Л.И.Звавича «Геометрия. 11 класс» (старая версия – синий учебник, новая версия – бело-зелёный учебник).

Структура билета

Предлагается следующая структура билета:

№1: Вопрос по программе лекций 11-го класса (все теоремы – с доказательством, все формулы – с выводом). Список вопросов – см. часть 1.

№2: Вопрос по определениям, свойствам и формулам  стереометрических фигур, либо вопрос на повторение основных вопросов лекций 10-го класса (без выводов и доказательств). Список вопросов – см. часть 2.

№3: Задача по стереометрии или планиметрии на доказательство.

№4: Уравнение или неравенство (типа МГТУ или ЕГЭ задача №13 или №15).

№5: Задача по математическому анализу 11-го класса (Производная и её приложение, экономическая задач на вклады или кредиты).

Образец билета.

Билет №0.

Зачет по курсу математики в 11 классе

3-й семестр                                                  2017-2018 учебный год

1) Дифференциал (определение). Геометрический смысл и правила нахождения дифференциала. Теорема об инвариантности формы первого дифференциала (с доказательством). 

2) Определение пирамиды. Свойство основания высоты пирамиды, у которой: а) все боковые рёбра составляют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые рёбра равны; в) все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.

3) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках K и M соответственно, и прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что четырёхугольник KLMN – параллелограмм.

4) Решите неравенство: .

5) Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, на гипотенузе которого лежит точка M(0;1), а его катеты лежат на прямых x= 2  и y=0?

                                      Утверждаю.                                Заведующий кафедрой СУНЦ-1 профессор                                           

                                                                                                                                                    /Граськин С.С./