Исследование задач выбора производственного решения

 

При образовании предприятия основным вопросом является, что производить. Определившись с примерным направлением производства и ассортиментом необходимо просчитать, основываясь на статистики или на данных работающих в данной отрасли предприятий, наиболее рентабельный вид продукта используя теорию игр.

Предприятию,  производящему изделия из водоотталкивающих тканей, необходимо принять решение о производстве  зонтов, плащей, туристических палаток и сумок в зависимости от того, будет ли погода умеренной или дождливой. Доходы от реализации при каждом из состояний погоды, в млн. у.е. составили:

Таблица 3.1.

	дождливая	умеренная
зонты	1,05	0,96
плащи	1,3	1,02
палатки	0,8	0,9
сумки	1	1,2

 

Необходимо принять решение о вложении денежных средств в производство той продукции, которая обеспечит наибольшую возможную прибыль.

 

Поиск решения с помощью минимаксного критерия.

Составляется платежная матрица:

 

 

Таблица 3.2.

	F1	F2
Е1	1,05	0,96	0,96
Е2	1,3	1,02	1,02
Е3	0,8	0,9	0,8
Е4	1	1,2	1
	1,3	1,2

 

Получаем что нижняя чистая цена игры = max = 1.02,

а верхняя чистая цена игры = min = 1.2

Таким образом получаем, что α ≠ β следовательно седловая точка отсутствует. Согласно ММ-критерию следует проводить полную проверку, т.к. упростить платежную матрицу нельзя, потому что нет доминируемых стратегий. Вообще, в играх с природой нельзя отбрасывать те или иные состояния природы, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо, выгодно оно предприятию или нет.

 

Критерий Байеса – Лапласа.

В нашей задаче . Средние выигрыши помещены в столбце .

Таблица 3.3.

	F1	F2
Е1	1,05	0,96	1,005
Е2	1,3	1,02	1,16
Е3	0,8	0,9	0,85
Е4	1	1,2	1,1

 

Оптимальной по Байесу-Лапласу является чистая стратегия Е2. В интересах объективности можно найти средние значения  вероятностей, определенных квалифицированными экспертами для каждого состояния на основе их субъективного опыта.

Т.о. критерий Байеса-Лапласа более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.

 

Критерий Сэвиджа.

В играх с природой нельзя что либо предсказать, т.к. она может реализовать любое состояние.

Перейдем к матрице рисков, она позволяет понять преимущество одной стратегии перед другой.

Таблица 3.4.

	F1	F2
Е1	0,25	0,24	0,25
Е2	0	0,18	0,18
Е3	0,5	0,4	0,5
Е4	0,3	0	0,3

 

.

Выбираем стратегию Е2, с минимальной величиной риска.

Из показаний критериев видно, что наиболее прибыльным для предприятия будет производство зонтов, при любых погодных условиях.

Не менее важной и сложной задачей предприятия является определение необходимого объема выпускаемой продукции, особенно если наименований несколько. В подобных случаях используют симплексный метод.

Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.

Таблица 3.5.

Сырье	Затраты сырья на единицу продукции			Запас сырья
	А1	А2	А3
I	3,5	7	4,2	1400
II	4	5	8	2000
Прибыль от ед.прод.	1	3	3

 

Необходимо определить сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли.

 

Составим математическую модель задачи. Пусть x1, х2, х3 соответственно – количество единиц продукции А1, А2, А3, которую производит предприятие. По смыслу задачи эти переменные неотрицательны.

Тогда f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 – совокупная прибыль от продажи произведенной продукции, которую требуется максимизировать.

Подсчитаем затраты сырья:

Сырье 1-го типа: 3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3, по условию затраты не превосходят 1400,

Сырье 2-го типа: 4 х1 + 5 х2 + 8 х3, по условию затраты не превосходят 2000.

Пришли к задаче линейного программирования:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

 

Преобразуем первое ограничение:

3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400, (поделим на 7)

0,5 х1 + 1 х2 + 0,6 х3 ≤ 200, (умножим на 10)

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000.

 

Получили задачу:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

 

Решим данную задачу симплекс-методом. Введем дополнительные переменные х4, х5 для приведения задачи к каноническому виду:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 + х4 = 2000,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 + х5 = 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0.

В качестве опорного плана выберем Х=(0, 0, 0, 2000, 2000). Составим симплекс-таблицу:

Таблица 3.6.

Базис	План	х1	х2	х3	х4	х5	δ ij
х4	2000	5	10	6	1	0	200
х5	2000	4	5	8	0	1	400
f	0	-1	-3	-3	0	0

 

В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой, а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца (отношения записаны в последнем столбце). Результат шага запишем в таблицу (разрешающий элемент будем выделять жирным). Аналогично будем повторять шаги, пока не придем к таблице с неотрицательными оценками.

Таблица 3.7.

Базис	План	х1	х2	х3	х4	х5	δ ij
х2	200	1/2	1	3/5	1/10	0	1000/3
х5	1000	3/2	0	5	-1/2	1	1000/5
f	600	1/2	0	-6/5	3/10	0

 

Таблица 3.8.

Базис	План	х1	х2	х3	х4	х5	δ ij
х4	80	8/25	1	0	4/25	-3/25	200
х3	200	3/10	0	1	-1/10	1/5	400
f	840	43/50	0	0	9/50	6/25

 

В последнем плане строка f не содержит отрицательных значений, план x1 = 0, x2 = 80, x3 = 200 оптимален, целевая функция принимает максимальное значение 840 (совокупная прибыль).

Дадим экономическую интерпретацию оптимального плана. Согласно этому плану необходимо произвести 0 единиц продукции типа А1, 80 единиц продукции типа А2, 200 единиц продукции типа А3.

В строке f оптимального плана в столбцах дополнительных переменных y*=(9/50, 6/25).

Двойственные оценки определяют дефицитность сырья. Так как y1*=9/50>0, y2*=6/25>0, то, согласно второй теореме двойственности сырье и 1го, и 2го типов полностью используется в оптимальном плане и является дефицитным сырьем.

Кроме того, значения двойственных оценок показывают, насколько возрастает доход предприятия при увеличении дефицитного сырья на единицу (соответственно, на 9/50 и на 6/25).

 

Заключение

 

Говоря о применении экономико-математических моделей, мы подразумеваем не просто выполнение различного рода экономических расчетов, а использование математики для нахождения наилучших экономических решений, изучения экономических закономерностей, получения новых теоретических выводов (синтез экономических и математических знаний раскрывает новые возможности экономического анализа). Главные преимущества математики как средства научного познания раскрываются при построении математических моделей, заменяющих в определенном отношении исследуемые объекты. Экономико-математические модели, отражающие с помощью математических соотношений основных свойств экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования экономических проблем.

Целью написания курсовой работы было определение области применения экономико-математических методов в деятельности предприятия.

В связи с поставленной целью были решены следующие задачи:

· изучены основы экономико-математического анализа;

· определены задачи предприятия;

· определена области применения экономико-математических методов;

· описаны методические основы экономико-математических методов;

· применен метод теории игр для задачи выбора производственного решения;

· применен симплексный метод для решения задачи выбора производственного решения.

Экономико-математическое модели является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической статистики способствовало формированию различного рода моделей экономики.

За последние 30-40 лет методы моделирования экономики разрабатывались очень интенсивно. Они строились для теоретических целей экономического анализа и для практических целей планирования, управления и прогноза. Содержательно модели экономики объединяют такие основные процессы: производство, планирование, управление, финансы и т.д. Однако в соответствующих моделях всегда упор делается на какой-нибудь один процесс (например, процесс планирования), тогда как все остальные представляются в упрощенном виде.

Можно говорить об эффективности применения методов моделирования в многих областях потому, что, во-первых, экономические объекты различного уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая макроуровнем - экономикой страны или даже мировой экономикой) можно рассматривать с позиций системного подхода. Во-вторых, такие характеристики поведения экономических систем:

- изменчивость (динамичность)

- противоречивость поведения

- тенденция к ухудшению характеристик

- подверженность воздействию окружающей среды предопределяют выбор метода их исследования.

Проанализировав совокупность существующих методов, можно сделать следующие выводы. Традиционное управление производственно-хозяйственной и финансовой деятельностью закрытых систем осуществляется с помощью общеизвестных методов планирования и управления.

Теория игр как раздел исследования операций - это теория математических моделей, принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы. Она исследует ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных решений, организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями и т. д.

На примере видно как с использованием теории игр можно рассчитать производство, каких наименований продукции будет наиболее выгодно независимо от климатических условий.

Методы математического программирования - основное средство решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. Все экономические задачи, решаемые с применением методов математического программирования, отличаются возможностью выбора решения из альтернатив и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу - значит выбрать из всех допустимо возможных вариантов лучший. Чаще других для этого используется симплексный метод.

Из расчетов видно, что выбор плана производства с использованием симплексного метода дает возможность не только рассчитать какой максимальный объем прибыли сможет получить предприятие при имеющихся производственных показателях, но и сделать выводы об изменении производственных запасов, для большей эффективности производства.

Таким образом, можно сказать, что область применения экономико-математических методов, в настоящее время, представляет собой немалые масштабы, что по большей части связано с развитием предпринимательства во всевозможных сферах, для становления, развития и процветания которых необходимы рациональные экономические решения.

 

 

Список литературы

 

1. Алесинская Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу Экономико-математические методы и модели. Таганрог,:ТРУ, 2002.

2. Баканов М. И., Мельник М. В., Шеремет А. Д. Теория экономического анализа. - М.: Финансы и статистика, 2005,

3. Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. –М.: Экономика, 2008.

4. Добрынина Г.И., Тарасевич Л.С. Экономическая теория : учебник для вузов – СПб.: Питер, 2009.

5. Дубов А.М., Лагоша Б.А. и др. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учебное пособие для вузов /Общая редакция Б.А. Лагоши. – М.: Финансы и статистика, 2010

6. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, ДИС, 2009.

7. Кантарович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. –М.: Наука, 2009

8. Карандаев И.С. и др. Математические методы исследования операций в примерах и задачах. - М.: ГАУ, 2007.

9. Ковалев В.В. Финансовый анализ: методы и процедуры. –М., Финансы и статистика, 2006.

10. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. и др. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов /Общая редакция Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2007.

11. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. и др. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов/ Общая редакция Н.Ш Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2007.

12. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. – М.:Наука, 2008.

13. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие для вузов. – М.: УРАО, 2008.

14. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М: Инфра-М, 2009.

15. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 3 частях. – М.: Финансы и статистика, 2008.

16. Сулицкий В.Н. Методы статистического анализа в управлении: Учебное пособие. – М.: Дело, 2006.

17. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике: Учебное пособие для вузов. – М.: Изд-во «Экзамен», 2007.

18. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте: Учебное пособие. – М.: Изд-во РДЛ, 2005.

19. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2005.

20. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. – М.: Изд-во Бек, 2008.

21. Чавкин А.М. Методы и модели рационального управления в рыночной экономике: разработка управленческих решений. – М.: Финансы и статистика, 2010

22. Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник.-2-е изд.,доп. –М.: ИНФРА-М, 2005.

23. Экономико-математические методы и модели: Учебное Пособие для Вузов /Общая редакция А.В. М, БГТУ, 2006