История золотого сечения.

Введение.

Правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Эмблема Пифагорейцев - пятиконечная звезда, которая выглядела как деление окружности на равные части, то есть правильно вписанный многоугольник. Дюрер приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника.

Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия - в планировке крепостей.

 Средневековые способы построения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер предложил Евклидовым способом построение правильного пятиугольника.

    Так как Евклидово построение включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнем отношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.

                                           АВ/ВЕ= АВ/АЕ

Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение

             Ф = 1+1/Ф

То есть Ф удовлетворяет уравнению

             Ф²- Ф-1=0

Это уравнение имеет один положительный корень

             Ф=(√5+1)/2=1.618034….

Заметим, что 1/Ф = (√5 -1)/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….

Ф и φ - прописная и строчная формы греческой буквы "фи".

Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия. Он

руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ.

История золотого сечения.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

 Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон также знал о золотом делении. Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле также заложены пропорции золотого деления.

Впервые золотое деление упоминается в "Началах" Евклида. В них дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл, Папп. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида, благодаря переводам Дж. Кампано.

    Леонардо да Винчи задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. Пачоли понимал значение науки для искусства. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи.

    Леонардо да Винчи производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение.

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

 Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.

Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования".

     Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".

Построение пропорции.

Здесь приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорции золотое сечение.

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции.