Локальная гладкость приближенного решения МКСЭ
12 Если при аппроксимации решения в пространстве для ошибки решения, очевидно, справедлива эквивалентность , то в пространствах более высокой гладкости , , и многоугольной границей разбиения подобное несправедливо. Более того, показатель гладкости произвольной функции на , имеющей гладкие следы на частях негладкой границы , ограничен сверху [13]. Это относится к регулярности решения задачи Дирихле в отдельном СЭ [32; 33; 24]. Ограничение по гладкости может оказаться достаточно жестким и связано с локальным поведением решения в суперэлементных углах. Показатель гладкости зависит как от гладкости правой части граничного условия на отдельных сторонах границы , их совместности в вершинах углов, так и от величины раствора углов, кривизны их сторон и вида исходного уравнения. 3.1. Свойства гладкости приближенного решения МКСЭ Пусть Λ – один из углов СЭ с границей раствора α, ; P – его вершина; – полярная система координат, связанная с Λ. В данном пункте мы рассмотрим преимущественно отдельный угол Λ, полученные таким образом результаты обобщаются на всю расчетную область. Помимо самого приближенного решения исследуем также его интерполянт . Отметим, что все полученные здесь результаты для справедливы и для приближенного решения , а коэффициенты в его разложении, указанные через интерполянт , должны быть заменены аналогичными, заданными через приближенное решение . Интерполянт МКСЭ в области СЭ является решением задачи: в , на , где , – граничный сплайн-интерполянт решения. Дальнейшие выкладки мы проводим в предположении, что следы совместны для всех углов Λ в СЭ так, что , и аналогично для приближенного решения: , где и – отдельные стороны угла Λ, составляющие его границу и пересекающиеся в точке P. Утверждение 1 . Пусть граничные базисные функции МКСЭ в некоторой окрестности угла Λ СЭ , на его границах и , – полиномы порядка не выше ν. Интерполянт приближенного решения МКСЭ в этой окрестности представим в виде: где , , , , – коэффициенты решения (граничного полинома ) на границах , перед , . Аналогичное утверждение справедливо и для приближенного решения . Доказательство. Будем искать решение задачи – в угле Λ СЭ как сумму решений задач следующего вида: в , на , где – константы, . При этом на . Согласно [17, с. 47] асимптотика этой задачи в угле Λ такова:
Здесь коэффициенты разложения по переменной r (функции , и ) бесконечно дифференцируемы по θ (*). Получим представление интерполянта приближенного решения:
где . Уточним результат, рассмотрев константные коэффициенты разложений. Они представляют интерес для дальнейшего рассмотрения. Выбранные полиномиальные граничные значения бесконечно дифференцируемы в окрестности угла. Решение задачи согласно результату [17, с. 50] может быть найдено в виде:
Находим коэффициенты , , , подставляя в задачу . Тогда , , , где , – коэффициенты граничных значений для различных сторон угла и соответственно. Граница соответствует значениям угла , и – значению . Отметим, что в первой сумме выражения . Суммирование по всем B дает разложение приближенного решения в области Λ (где символ B заменен на q):
с коэффициентами , , . Выпишем слагаемое при :
в обоих случаях принадлежности . # Замечание. Из проведенного рассмотрения следует также: , при , ; в противном случае решение и ограничено. Пример. Для угла квадратного СЭ значение . Приближенное решение МКСЭ , а также его интерполянт в некоторой окрестности углов СЭ представимы в виде следующей конечной суммы: при линейной интерполяции граничного решения ; при любой полиномиальной интерполяции порядка выше единицы: . # Выражение определяет гладкость интерполянта приближенного решения МКСЭ в соболевских пространствах. Если и , то нерегулярна по отношению к граничному условию так, что для произвольных , , . В противном случае решение в угле Λ обладает бесконечной гладкостью, поэтому приближенное решение в СЭ имеет максимальную гладкость по отношению к граничному условию на . То же относится к приближенному решению МКСЭ. Рассмотрим пространство . Согласно в его определение включено условие . Мы вводим ещё одно важное предположение о совместности следов в узлах СЭ, а именно: считаем выполненным условие . Считаем также, что все углы СЭ направлены во внешность их области: . Пространство , дополненное условием совместности следов , и условием на раствор углов, обозначим . Утверждение 2 . Приближенное решение МКСЭ из пространства принадлежит соболевскому пространству в пределах каждого СЭ . То же верно для интерполянта . Доказательство. Предыдущие выкладки показывают, что в области СЭ , если . Нерегулярный случай при минимальном значении из множества дает . Значит, выполнено . Аналогично для . Заметим, что для дальнейших выкладок это не принципиально, но упрощает некоторые записи. # 3.2. Асимптотическое разложение функции класса HR(Λ) Приведем некоторые известные сведения об асимптотическом разложении некоторой функции в многоугольном СЭ. Совместно с пунктом 0 эта информация может быть употреблена для получения ряда оценок. Кроме того, она дает представление и о других возможных вариантах задания граничных базисных функций, не указанных ранее и характеризуемых любой гладкостью по шкале Соболева. Как мы уже отмечали, показатель гладкости такой функции в СЭ всегда ограничен сверху. Это связано с гладкостью его границы. Получим асимптотическое разложение в окрестностях угловых точек. Произвольное решение уравнения Лапласа с граничными данными в угле Λ СЭ (в некоторой окрестности угловой точки P) разложимо в сумму гладкой и сингулярной частей [24; 25; 35]: , , , где обладает максимальной гладкостью, порожденной гладкостью функции граничного условия, а наличие обусловлено видом области Λ. Здесь – локальная система координат в угле Λ; набор параметров λ определен некоторыми характеристическими числами, связанными с уравнением, и может быть дополнен конечным числом положительных действительных параметров , ; причем и в том, и в другом случае диапазон λ ограничен сверху гладкостью граничных данных; Q – конечное число; – константы. Рассматриваемое нами эллиптическое уравнение не содержит членов порядка меньше максимального. Кроме того, границы СЭ в некоторой окрестности каждого из углов Λ считаем прямыми линиями. Классическим способом определения регулярности решения линейного эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами является метод В.А. Кондратьева(*), использующий преобразование Меллина [21] исходного уравнения в угле Λ в задачу на отрезке , , – изображение. Выписанное уравнение на собственные значения можно получить и определенной заменой переменных, преобразовывающей задачу в угле в задачу на некоторой простой области, например, полосе [17], полупространстве [33] в случае уравнения Лапласа. Несложно определить его решение как решение задачи Штурма-Лиувилля. Оно имеет вид: , , . Обратное преобразование Меллина даст разложение решения: , где принадлежит конечному промежутку, В случае уравнения Лапласа коэффициенты λ разложения включают в себя конечный ряд из полученных характеристических чисел для [25; 32]. Наличие неоднородных граничных условий на приводит к возникновению дополнительных слагаемых в таком разложении, гладкость которых измеряется в пространствах Соболева с весом [35]. Для определения их полной асимптотики и регулярности в рамках шкалы “обыкновенных” пространств Соболева требуется дополнительное исследование. Например, полиномиальная правая часть в угле раствора (см. пункт 0) приводит к разложению с порядком . Величина регулярна при рассмотрении пространства с показателем гладкости , она регулярна также и для некоторых пространств Соболева с весом. При работе в шкале соболевских пространств , , её уже необходимо учитывать как нерегулярную часть. Отметим, что шкала весовых пространств “с однородной нормой”, возникающих при использовании метода Кондратьева, не имеет пересечений со шкалой пространств Соболева [32]. Мы ее не используем. Нас интересует множество функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа в областях , условиям и со следами класса , . Ранее оно было обозначено через . Вообще говоря, пространство в угле Λ содержит в себе набор весовых пространств “с неоднородной нормой” , см. [32], характеризующийся индексами , определенного диапазона. Уточнение асимптотики выражения – со следами из , , может быть выписано согласно [32, p.p. 284, 300]. А именно, в угле Λ справедливо представление: , где , ; ; ; для некоторого . Слагаемое является полиномом от функции u порядка не выше . Функции , , – полиномы от переменной с коэффициентами (зависящими от ) класса . Функция обладает максимальной гладкостью по отношению к заданному граничному условию . Функция действует в пространство , . Из общих теорем вложения для данных весовых пространств (напр., [26]) следует, что для . При этом для функции u при справедливо условие . Такое разложение достаточно громоздко, но содержит все необходимые нам факты, связанные с асимптотикой в угле СЭ. Подчеркнем, что вид разложения является общим, его коэффициенты могут зависеть от раствора угла [33], величины R, граничных условий [37] и т.п. Заметим, что для , асимптотика содержит слагаемое , его гладкость не выше . Для в общем случае для решения справедливо соотношение . При этом , где – обозначение целой части числа. Если , то первая сумма содержит слагаемые только в случае угла . Отсюда для пространства следует вложение . Напомним, что из общего определения выполнено вложение вида , . Отметим, что достаточно хорошо известны результаты и оценки, связанные с сильным решением задачи Дирихле в многоугольной области (см. [22; 23]). При этом достаточно легко заметить, что все соотношения в данных работах полностью согласуются с выписанным разложением . Мы не используем данные результаты, поскольку нас интересует весь диапазон возможной гладкости. Используем асимптотику либо её более общий вид . Последующие рассуждения относятся к уточнению таких оценок, что не представляется возможным, оставаясь лишь в рамках шкалы . Введем ещё одно определение. Оператор следа m-го порядка в пространстве задан соотношением , , где n – внешняя единичная нормаль к границе , . Оператор действует из в для , и допускает “обычное” расширение в слабом смысле, например, : для .
4. Оценки решения по шкале HM(Ω) Пусть задача – обладает гладким решением , . Рассмотрим вопрос об аппроксимации первых производных , как и ранее, в норме пространства . Из того факта, что , следует, что нам нужны оценки погрешностей решения u в норме пространства . Обобщая на произвольный порядок производных , , , можно исследовать поведение погрешностей решения u в нормах пространств и, следовательно, определяя свойства МКСЭ о приближении производных порядка в норме пространства Соболева . Рассмотрим пример M = 2. Из гармоничности градиентов искомого и приближенного решений имеем , где, вообще говоря, , так как условие совместности для градиентов не выполнено. Пункт 0 показывает, что в области СЭ , если , поэтому запись ошибки решения в норме корректна. Запишем с использованием стандартных преобразований: , где – производная по направлению касательного вектора на отрезке ; – след первого порядка на , см. . Если бы выражение для ошибки допускало принадлежность классу , , , на отдельном отрезке , то стала бы возможной запись неравенства как следствие непрерывного вложения соответствующих пространств. Тогда слагаемые под знаком нормы в правой части выражения оценивались бы согласно “стандартным” выкладкам [10–12]. Заметим, что здесь нас интересуют не только априорные оценки погрешностей производных, но и сама сходимость производных приближенного решения МКСЭ к точному решению. Ясно, что . Для следа первого порядка (нормальной производной) приближенного решения на отрезке нет точного аналитического выражения, оно известно лишь для следа . Можно определить регулярность лишь в окрестности узлов , благодаря пункту 0. Рассмотрим далее угол Λ, поэтому через будем обозначать произвольную его сторону ; как и ранее, P – вершина угла Λ. Несложно показать, что на границе угла справедливо равенство: . Тогда из разложения для интересующего диапазона получим следующий результат: ;
Отметим, что первым слагаемым, характерным для каждого из разложений и имеющим минимальный показатель (либо ) является величина при , зависящая от переменной . Здесь также , поскольку . Перепишем полученные выражения, подставляя во вторую сумму(*): Отсюда ясно, что в окрестности вершины P произвольного угла СЭ Λ раствора α справедливы соотношения: и для или производная регулярна, если . Более того, свойства гладкости можно определить, воспользовавшись следующими результатами. Утверждение 3 [26]. Элемент из пространства является образом некоторой функции в угле раствора α с вершиной P в результате действия согласно оператора , тогда и только тогда, когда выполнены соотношения , , ,
и для , , выполнено некоторое интегральное условие, где – существующие конечные производные по отношению к касательным векторам для границы , . В том случае, когда , условия – принимают вид: , , ,
и для , , , при . Отметим, что число условий совместности ограничено, несмотря на увеличение показателя s. Это связано с тем, что мы исследуем лишь величины и ; это число таким образом связано непосредственно с порядком рассматриваемой нормы M. Вариант выписан для примера вследствие простоты записи. Не составляет труда перенести результаты на общий случай. Для квадратного СЭ с узлами и сторонами , , , справедливо утверждение. Утверждение 4 [26]. Пусть и . Элемент , , , из пространства есть образ при отображении некоторой функции из пространства Соболева тогда и только тогда, когда для всех и для всех , , , выполнено , где , для , , выполнено , и принято обозначение , – касательные вектора для границы . Замечание Пространство , дополненное набором таких условий, не является замкнутым в в стандартной норме. Оператор непрерывно действует из в такое модифицированное пространство и допускает непрерывный обратный при s > 2 в том случае, когда оно снабжено нормой с добавлением слагаемого, совпадающего с левой частью или , см. также [26].# Таким образом, для исследования свойств нормальной производной 2019-12-29 |
200 |
Обсуждений (0) |
|
5.00
из
|
|
Обсуждение в статье: Локальная гладкость приближенного решения МКСЭ |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы