АНАЛОГИЯ В ТЕОРЕМАХ О ПРЯМОЙ ЭЙЛЕРА, ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЕ

2019-12-29

318

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

1 234

В данном пункте будет приведен пример совместного рассмотрения известных теорем Эйлера, как на плоскости, так и в пространстве. Приведенные ниже утверждения достаточно известны, а их доказательства можно прочитать, например, в книгах И. Ф. Шарыгина «Задачи по геометрии» или В. В. Прасолова «Задачи по планиметрии».

Будут использованы следующие определения:

Ортоцентр – точка пересечения высот (если она существует)

Ортоцентрический тетраэдр – тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. (Далее все рассматриваемые тетраэдры будут только такими и термин ортоцентрический будет опущен.)

Центр масс (центроид) системы точек А₁, А₂, …,А_n – такая точка О, что ОА₁+ ОА₂+ … +ОА_n = 0.

Для большей наглядности приведем основные используемые понятия в виде таблицы.

Плоскость Треугольник, Центр масс – точка пересечения медиан, описанная окружность. Ортоцентр, центр масс и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. Серединный треугольник – треугольник с вершинами в серединах сторон (основаниях медиан), Ортотреугольник – треугольник с вершинами в основаниях высот. Для любого треугольника основания высот, основания медиан и середины отрезков прямых от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности – окружности девяти точек (окружности Эйлера). В частности, серединный треугольник и ортотреугольник вписаны в одну окружность.

Пространство Тетраэдр, Центр масс – точка пересечения отрезков, соединяющих вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани, она же точка пересечения средних линий (соединяющих середины противоположных ребер), описанная сфера. Ортоцентр, центр масс и центр описанной сферы лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. Серединный тетраэдр – тетраэдр с вершинами в точках пересечения медиан граней, Ортотетраэдр – тетраэдр с вершинами в основаниях высот исходного тетраэдра. Для любого ортоцентрического тетраэдра центр масс и ортоцентры граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2/1, лежат на одной сфере – сфере 12 точек (сфере Эйлера). В частности, серединный тетраэдр и ортотетраэдр вписаны в одну и ту же сферу. Замечание: ортоцентричность исходного тетраэдра равносильна тому, что его основания высот совпадают с точками пересечения высот противоположных граней. Для любого ортоцентрического тетраэдра окружности девяти точек каждой грани принадлежат одной сфере – сфере 24 точек (основания высот, проведенных к одному и тому же ребру, для ортоцентрического тетраэдра совпадают).

На внеклассных занятиях со старшеклассниками и занятиях по методике всячески практикуют “выходы в пространство”, использующие аналогию геометрических понятий. Школьники получают большое удовольствие, обнаруживая невидимые ранее связи. Причем не ограничиваются обсуждением доказательств теорем, но часто разбираются подобные теоремы, переформулируя их как задачи на построение. Для наглядной демонстрации подобной работы вновь следует обратиться к приведенным выше прямым и окружностям Эйлера. В качестве наиболее простой задачи предлагается рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник и перенести полученные результаты на равнобедренный прямоугольный тетраэдр. Чтобы облегчить оформление рисунков и формулировку получаемых утверждений при обобщении обеих теорем Эйлера на пространство, рекомендуем выполнить рядом два рисунка, ввести аналогичные обозначения и постоянно сравнивать “плоские” и “пространственные” результаты. Причем, обнаружив и доказав какое-либо утверждение для плоского случая необходимо тут же стремиться отыскать его аналог для пространства.

Плоскость 1 этап: построение ÐА₃А₁А₂=90°, H₁, H₂А₂= А₁А₃, М₁, М₂, М₃ – середины соответствующих сторон, H₁, H₂, H₃ – основания высот, опущенных на стороны треугольника. Ц – центроид (в данном случае точка пересечения медиан). 2 этап: анализ 1) М₁= H₁по свойству равнобедренного треугольника. 2) А₁= H₂= H₃, так как треугольник прямоугольный. 3) Вершина прямого угла А является также ортоцентром треугольника А₁А₂А₃. 4) Середина гипотенузы М₁ является также центром описанной окружности (М₁А₁= М₁А₂= М₁А₃). 5) М₁М₂М₃ - серединный треугольник. 6) Ортотреугольник H₁H₂H₃выражается в отрезок А₁М₁. 7) Середины отрезков высот, опущенных из вершин А₂и А₃, от ортоцентра до соответствующих вершин совпадают с серединами сторон А₁А₂и А₃А₄ соответственно. 3 этап: выводы 1) Ортоцентр треугольника, его центроид и центр описанной окружности лежит на одной прямой А₁М₁ (прямая Эйлера). 2) Точки А_1,М_1,М_2,М₃ лежат на одной окружности с центром в середине отрезка А₁М₁ и радиусом равным А₁М₁/2. Доказательство: пусть О – середина А₁М₁. Тогда треугольники А₁М₂М₁ и А₁М₃М₁ прямоугольные (по свойству средних линий треугольника) и, следовательно, М₂О= М₃О= А₁М₁/2 как медианы прямоугольных треугольников. 3) Таким образом, вершины серединного треугольника, ортотреугольника и середины отрезков высот лежат на одной окружности (окружности Эйлера). 4) Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности.

Пространство 1 этап: построение ÐА₃А₁А₂=ÐА₃А₁А₄=ÐА₄А₁А₂=90°, А₁А₂= А₁А₃= А₁А₄; М₁, М₂, М₃, М₄ – центры масс (точки пересечения медиан соответствующих граней), H₁, H₂, H₃, H₄ - основания высот, опущенных на грани тетраэдра. Ц – его центроид (в данном случае точка, делящая отрезок А₁М₁ в отношении 3/1, считая от вершины). 2 этап: анализ 1) М₁= H₁, так как треугольник А₂А₃А₄– равносторонний и все его медианы являются также и высотами (по свойству ортоцентрического тетраэдра, основание высоты, опущенной из вершины А₁, совпадает с точкой пересечения высот). 2) А₁= H₂= H₃= H₄, так как соответствующие грани являются прямоугольными треугольниками; 3) Вершина прямого угла А₁ является также ортоцентром тетраэдра А₁А₂А₃А₄. 4) Центр описанной сферы лежит на прямой, содержащей высоту А₁H₁, опущенную на грань А₂А₃А₄ (H₁ совпадает с точкой пересечения медиан М₁ этой грани, а множество точек пространства, равноудаленных от вершин треугольника, есть перпендикуляр, проходящий через точку пересечения его медиан). 5) М₁М₂М₃М₄ – серединный тетраэдр. 6) Ортотетраэдр H₁H₂H₃H₄ выражается в отрезок А₁М₁. 7) Середины отрезков высот, опущенных из вершин А_2,А_3,и А₄, от ортоцентра до соответствующих вершин совпадают с серединами ребер А₁А₂,А₁А₃и А₁А₄соответственно. 3 этап: выводы 1) Ортоцентр тетраэдра, его центроид и центр описанной сферы лежат на одной прямой А₁М₁ (прямая Эйлера). 2) Точки А_1,М_1,М_2,М₃и М₄ лежат на одной сфере с центром в середине отрезка А₁М₁и радиусом равным А₁М₁/2. Доказательство: пусть О – середина А₁М₁. В силу симметричности достаточно доказать для одной из боковых граней, например, для А₁А₂А₄. Пусть К – середина А₄А₂, точка М₃лежит на отрезке А₁К, причем А₁М₃=2М₃К. Опустим из точки М₁перпендикуляр на грань А₁А₂А₄. По свойству проекций основание этого перпендикуляра в точку пересечения медиан этой грани, т. е. в точку М₃. Таким образом, треугольник А₁М₃М₁ прямоугольный с гипотенузой А₁М₁. Следовательно, по свойству прямоугольных треугольников М₁М₃= А₁М₁/2. 3) Таким образом, вершины серединного тетраэдра, ортотетраэдра лежат на одной сфере (сфера Эйлера); 4) В качестве упражнения можно вычислить, в каком отношении эта сфера делит ребра тетраэдра, примыкающие к прямому углу.

В качестве домашнего задания учащимся предлагается проверить теоремы Эйлера с помощью построений на произвольном треугольнике и попытаться аналогично приведенным выше рассуждениям вывести утверждения для произвольного ортоцентрического тетраэдра.

На последующих занятиях можно провести обобщение плоского случая на пространственный с помощью метода координат.

Обращаясь вновь к рассматриваемому выше треугольнику, можно ввести координаты так, что точка А₁ будет иметь координаты (0; 0), точка А₁ (4;0), точка А₃ (0;4), тогда координаты остальных точек: М₁ (2; 2), М₂ (0; 2), М₃ (2; 0), Ц (4/3;43). Выведем уравнение окружности, проходящей через точки А_1, М₂ и М₃ (для определения окружности достаточно трех точек) в виде (x-a)²+(y-b)²=R². Тогда:

(0-a)²+(0-b)²=R²Ûa²+b²=R²,

(0-a)²+(2-b)²=R²Ûa²+4-4b+b²=R²,

(2-a)²+(0-b)²=R²Û4-4a+a²+b²=R².

Из этой системы трех уравнений получаем a=1, b=1, R=Ö2 и уравнение окружности: (x-1)²+(y-1)²=2. Непосредственной подстановкой координат точки М₁ в полученное уравнение убеждаемся, что точка М₁ принадлежит окружности.

Аналогично для пространства. Введем пространственные координаты так, чтобы точка А₁ имела координаты (0; 0; 0), точка А₂ (6; 0; 0), точка А₃ (0; 0; 6), точка А₄ (0; 6; 0). Тогда координаты остальных точек - М₁ (2; 2; 2), М₂ (0; 2; 2), М₃ (2; 2; 0), М₄ (2; 0; 2), Ц (3/2; 3/2; 3/2). Выведем уравнение окружности, походящей через точки А_1, М₁, М₂ и М₃(для определения сферы нужно уже четыре точки). Уравнение сферы будет иметь вид (x-1)²+(y-1)²+(z-1)²=3.Принадлежность остальных точек этой сферы можно легко проверить простой подстановкой координат в уравнение.

2019-12-29

318

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

1 234

Обсуждение в статье: АНАЛОГИЯ В ТЕОРЕМАХ О ПРЯМОЙ ЭЙЛЕРА, ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЕ

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓