Построение логарифмических частотных характеристик

Логарифмические частотные характеристики можно определить, прологарифмировав комплексную частотную характеристику:

lnK(jw) = ln{K(w)Exp(jj(w))} = lnK(w) + jj(w).

Действительная часть полученного выражения является логарифмической АЧХ, а мнимая – логарифмической ФЧХ. Определенная таким образом логарифмическая АЧХ измеряется в неперах. Обычно используется другая единица измерения – децибел, и ЛАХ определяется как L(w) = 20lgK(w).

Главное достоинство логарифмических частотных характеристик проявляется при построении частотных характеристик последовательного соединения звеньев, так как логарифмические частотные характеристики складываются.

Если передаточная функция линейной системы записывается как отношение полиномов, то ее можно представить в виде произведения сомножителей не выше второго порядка. Таких разнотипных сомножителей семь. В соответствии с этим вводятся семь типовых линейных звеньев: 1) безынерционное с передаточной функцией К(р) = К; 2) интегрирующее (К(р) = 1/р); 3) инерционное (К(р) = 1/(1 + рТ)); 4) колебательное (К(р) = 1/(1 + 2dTp + p²T²)); 5) дифференцирующее (К(р) = р); форсирующее (К(р) = 1 + рТ); 7) форсирующее второго порядка (К(р) = = 1 + 2dTp + p²T²).

В настоящем лабораторном практикуме используются передаточные функции, составленные из типовых звеньев не выше первого порядка. Поэтому рассмотрим частотные характеристики только звеньев первого порядка.

Комплексная частотная характеристика интегрирующего звена К(jw) = 1/jw. Логарифмическая АЧХ (ЛАХ) L(w) = 20lg(1/w) = -20lgw. Логарифмическая ФЧХ j(w) = Arg(1/jw) = -p/2. Эти характеристики изображены на рис. П1. ЛАХ представляет собой прямую линию с наклоном --20дБ/дек., пересекающую горизонтальную ось на частоте w = 1 рад/с.

Рис.

Комплексная частотная характеристика инерционного звена К(jw) = =1/(1 + jwT). ЛАХ: L(w) = 20lg(1/Ö1 + w²T²) = -20lgÖ1 + w²T². ЛФХ: j(w) = argK(jw) = arctg(-wT). Обе характеристики являются нелинейными функциями от lgw.

Построим сначала асимптотическую ЛАХ, составленную из низкочастотной и высокочастотной асимптот. Низкочастотная асимптота:

L(w)½_w®0 = -20lgÖ1 + w²T² = 0. Высокочастотная асимптота: L(w)½_w®¥ =

= -20lgÖ1 + w²T ² = -20lgwT. Асимптоты пересекаются на частоте w_с= 1/Т, которую называют сопрягающей. Асимптотическая ЛАХ изображена на рис.8. Наибольшее отличие точной ЛАХ от асимптотической будет на сопрягающей частоте, и оно равно –20lgÖ1 + w_с²Т² = -20lgÖ2 @ 3 дБ. При отклонении частоты на октаву от сопрягающей отличие уменьшается до 1 дБ. При приближенном анализе таким отличием точной ЛАХ от асимптотической можно пренебречь и строить только асимптотические ЛАХ.

Для построения ЛФХ можно воспользоваться таблицей

Таблица.

ЛФХ инерционного звена приведена на рис. 8. Фазовый сдвиг на сопрягающей частоте равен -p/4 и изменяется от 0 до -p/2 практически за две декады: по одной в обе стороны от сопрягающей частоты. Логарифмические частотные характеристики дифференцирующего и форсирующего звеньев отличаются от характеристик интегрирующего и инерционного звеньев знаком. Они приведены на рис. 9 и рис. 10 соответственно.

Рис.

ЛАХ и ЛФХ последовательного соединения типовых линейных звеньев строятся сложением характеристик отдельных звеньев. Однако при построении ЛАХ удобнее складывать не их значения ,а наклоны. Можно пользоваться следующей методикой.

1. Определяются и наносятся на оси частот все сопрягающие частоты w_сi = 1/T_i.

2. На частоте w = 1 наносится точка с координатой L₁ = 20lgK, где К – коэффициент передачи разомкнутой системы.

3. Через эту точку проводится вспомогательная прямая с наклоном

20(l –k) дБ/дек., где l – количество дифференцирующих звеньев, k – количество интегрирующих звеньев.

4. По этой прямой проводится асимптотическая ЛАХ от нулевых частот до первой, самой низкой сопрягающей частоты.

5. Начиная с этой частоты наклон ЛАХ изменяется в соответствии с типом учитываемого звена: для инерционного на –20 дБ/дек., а для форсирующего на 20 дБ/дек. С таким наклоном ЛАХ проводится до следующей сопрягающей частоты и т.д.

Пользуясь этой методикой, построим ЛАХ линейной системы с передаточной функцией К(р) = 100(1 + р)/р(1 + 10р)(1 + 0,01р)².

1. Находим сопрягающие частоты: w_с1 = 1/10 = 0,1 рад/с, w_с2 = 1/1 =

= 1 рад/с, w_с3 = 1/0,01 = 100 рад/с.

2. Находим L₁ = 20lg100 = 40 дБ, так как К = 100.

3. Определяем наклон вспомогательной прямой. В передаточную функцию входит сомножитель 1/р, т.е. одно интегрирующее звено. Следовательно l = 0, k = 1 и наклон равен –20 дБ/дек. Строим эту прямую (см. рис.11).

Рис.

4. По этой прямой проводится асимптотическая ЛАХ от нулевых частот до сопрягающей частоты w_с1 = 10 рад/с. Это сопрягающая частота инерционного звена с передаточной функцией 1/(1 + 10р), следовательно, наклон ЛАХ изменится на –20 дБ/дек и станет равным: –20 + + (-20) = -40 дБ/дек. (рис. 12).

Рис.

5. ЛАХ с таким наклоном проводим до следующей сопрягающей частоты w_с2 = 1 рад/с. Так как это сопрягающая частота форсирующего звена, то наклон ЛАХ изменится на +20 дБ/дек и станет равным –40 + + 20 = -20 дБ/дек. (рис.13).

6. ЛАХ с наклоном –20 дБ/дек. проводится до следующей сопрягающей частоты w_с3 = 100 рад/с. Это сопрягающая частота инерционного звена. Таких звеньев два, и наклон становится равным: –20 + 2(-20) = = -60 дБ/дек. Далее сопрягающих частот нет, и ЛАХ с таким наклоном проводится до бесконечной частоты (рис. 14). ЛАХ построена.

Рис.

При построении ЛФХ линейной системы сначала строятся ЛФХ отдельных звеньев, как показано на рис. П9. Цифрами обозначены ЛФХ звеньев: 1 – интегрирующего, 2 – инерционного с Т₁ = 10 с, 3 – форсирующего с Т₂ = 1 с, 4 – двух инерционных с Т₃ = 0,01 с. Сложив эти характеристики, получим ЛФХ системы (рис. 16).

Рис.

Заключение

Основным направлением развития систем связи является обеспечение множественного доступа, при котором частотный ресурс совместно и одновременно используется несколькими абонентами. К технологиям множественного доступа относятся TDMA, FDMA, CDMA и их комбинации. При этом повышают требования и к качеству связи, т.е. помехоустойчивости, объему передаваемой информации, защищенности информации и идентификации пользователя и пр. Это приводит к необходимости использования сложных видов модуляции, кодирования информации, непрерывной и быстрой перестройки рабочей частоты, синхронизации циклов работы передатчика, приемника и базовой станции, а также обеспечению высокой стабильности частоты и высокой точности амплитудной и фазовой модуляции при рабочих частотах, измеряемых гигагерцами. Что касается систем вещания, здесь основным требованием является повышение качества сигнала на стороне абонента, что опять же приводит к повышению объема передаваемой информации в связи с переходом на цифровые стандарты вещания. Крайне важна также стабильность во времени параметров таких радиопередатчиков - частоты, модуляции. Очевидно, что аналоговая схемотехника с такими задачами справиться не в состоянии, и формирование сигналов передатчиков необходимо осуществлять цифровыми методами.

Список литературы