УПРАВЛЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ММ

 

    2.1. Понятие управления

    Управление - это такое входное воздействие или сигнал, в результате которого система ведет себя заданным образом. Обычно управление направлено на то, чтобы система находилась в стационарном режиме (равновесном или периодическом).

    Управление развитием системы - это воздействия или сигналы, направленные на изменение структуры или множества состояний системы. Например, план реконструкции предприятия. В этом случае осуществляется управление поведением системы, которая реализует развитие данной системы.

    Таким образом, управление всегда имеет определенную цель. Обычно она формулируется как ограничение на множество возможных состояний системы, или какой-либо показатель системы, который нужно поддерживать в заданных пределах, либо максимизировать. Если известна зависимость указанного показателя от входных воздействий на систему, или ее состояния, то он называется целевой функцией.

    Часто цель не может быть достигнута сразу, а необходимо пройти несколько этапов, на каждом из которых имеется локальная цель, не совпадающая с главной целью. Эти локальные цели называются задачами управления. Пример: автобус идет по маршруту. Цель - конечный пункт. Задача - проехать по данной улице. Может оказаться, что направление движения по улице сильно отличается от направления на конечный пункт.

    Для осуществления процесса управления нужно наличие трех элементов:

    - управляемый объект;

    - орган управления;

    - исполнительный орган.

    Орган управления - это система, на вход которой поступают сигналы о состоянии управляемого объекта и среды, а на выходе - сигнал о необходимом в данной ситуации управлении.

    Исполнительный орган - это система, на вход которой поступает сигнал о необходимом управлении, а на выходе вырабатывается управляющее воздействие на управляемый объект.

    Система управления объединяет орган управления и исполнительный орган.

    Системы управления бывают следующими:

    1) ручные - без использования вычислительной техники;

    2) автоматизированные - используется вычислительная техника, которая принимает на себя основной поток информации, однако человек остается важнейшим звеном системы управления, функцией которого является принятие решений либо утверждение решений, выработанных ЭВМ;

    3) автоматические - человек не участвует в процессе управления и не входит в данную систему управления. Обычно он осуществляет контроль за правильностью функционирования объекта управления и вмешивается только при возникновении особых (например, аварийных) ситуаций. В автоматических системах управления человек является звеном другой системы управления, для которой управляемым объектом является данная автоматическая СУ с ее управляемым ею объектом.

 

    2.2. Схема управления

 

 

                                                                  z                                     B

			УО

 

ИЭ

                                                                  u

 

 

                                                                                         x                                                    y

                                                                 ИО

 

       УО - управляемый объект;

    ОУ - орган управления;

    ИО - исполнительный орган;

    ИЭ - источник энергии управляющих воздействий;

    x - управление (вход УО);

y - выход УО, характеризующий его состояние (результат управления);

    u - управляющий сигнал;

    В - возмущения среды;

    z - информация, поступающая в ОУ.

 

    Исполнительный орган изображен в виде вентиля, что отражает процесс, происходящий в нем: маломощное воздействие приводит в движение большой поток энергии, который идет в УО в качестве управляющего воздействия (выключатель, кран и т.п.), т.е. ОУ сам является исполнительным органом по отношению к ИО.

 

    2.3. Способы управления

    Различают три способа управления, в зависимости от того, на основании какой информации ОУ формирует управляющий сигнал.

       1) Управление по отклонению - используются сведения об изменениях выхода УО, его поведения. Этот способ реализует замкнутая схема управления.

 

 

 

                                                                  z                                         

			УО

 

ИЭ

                                                                  u

 

 

                                                                                         x                                                    y

                                                                 ИО

 

 

       Здесь имеется замкнутый контур y -> u -> x -> y , поэтому такая схема управления называется замкнутой. Связь ОУ -> УО называется прямой, УО -> ОУ - обратной связью.

    Обратная связь может быть положительной и отрицательной. Положительная обратная связь такая, при которой увеличение y приводит к таким значениям x, которые влекут дальнейший рост y, при отрицательной - рост y приводит к значениям x, вызывающим уменьшение y.

    Примеры положительной обратной связи: цепные реакции, взрыв, система аварийной сигнализации. Во всех подобных случаях небольшое отклонение должно вызвать как можно более энергичную реакцию управляемого объекта.

    Отрицательная обратная связь осуществляется, например, при управлении запасом товаров на складе: при возникновении существенного отклонения запаса от нормативного предпринимаются меры по устранению этого отклонения - завоз товаров, либо реализация излишка.

    2) Управление по возмущению или нагрузке - используются сведения о возмущающих воздействиях на управляемый объект со стороны окружающей среды. Этот способ управления реализует разомкнутая схема управления.

 

                                           

                  +-------+               ¦

                  ¦ ОУ ¦<-------------------¦

                  +-------+               ¦B

                      ¦                   ¦

                      ¦u                 \¦/

+-------+          ¦               +-------+

¦ ИЭ ¦_____________¦\¦/¦__________________¦ УО ¦____________

+-------+        ¦/ \¦          x +-------+ y

 

       3) Комбинированное управление является сочетанием двух предыдущих способов управления.

 

 

                  +-------+               ¦

                  ¦  ¦<-------------------¦---------+

                  ¦ ОУ ¦<-------------------¦    ¦

                  +-------+               ¦B   ¦

                      ¦                   ¦    ¦

                      ¦u                 \¦/   ¦

+-------+          ¦               +-------+ ¦

¦ ИЭ ¦_____________¦\¦/¦__________________¦ УО ¦_____¦______

+-------+        ¦/ \¦          x +-------+      y

 

 

    Замкнутая система управления позволяет быстро реагировать на нежелательные отклонения в поведении объекта, с целью устранить эти отклонения. Однако она не следит за причинами, вызвавшими отклонения. В результате объект может выйти из-под контроля, а управление только замедлит его нежелательное поведение. Пример: лечение рака аспирином. Замкнутая система поддерживает равновесие, она обеспечивает достижение цели управления, когда возмущающих воздействий много и не все они могут быть измерены, а также когда заранее не известно влияние возмущений на управляемые величины.

    Разомкнутая система управления учитывает причины (возмущения среды), которые вызывают то или иное поведение объекта. Она позволяет лечить болезнь, а не симптомы. Однако результат управления проявляется медленно, может оказаться, что объект уже пришел в нужное состояние, однако продолжаются управляющие воздействия, которые выводят его из этого состояния.

    Если СУ реагирует на каждое, даже случайное, отклонение, то может возникать "рысканье" системы, ее неустойчивость.

    Комбинированная СУ позволяет осуществлять учет длительно действующих, запаздывающих по своему действию причин (возмущения среды) и фактических результатов управления (поведения объекта). Вначале происходит грубая настройка объекта на условия его работы, затем точное регулирование в соответствии с фактическим поведением объекта.

    2.4. Задачи управления

    Имеются четыре основных задачи управления:

    1) стабилизация;

    2) программное управление;

    3) слежение;

    4) оптимальное управление.

 

    Стабилизация системы - это поддержание ее выходных показателей вблизи заданных значений у0.

 

         +----------------+  y

         ¦           ¦<-----------------------------+

         ¦ |y-y0|< eps ¦                         ¦

         +----------------+               ¦B   ¦

                      ¦                   ¦    ¦

                      ¦u                 \¦/   ¦

+-------+          ¦               +-------+ ¦

¦ ИЭ ¦_____________¦\¦/¦__________________¦ УО ¦_____¦______

+-------+        ¦/ \¦          x +-------+ y

 

       Примеры:

 

    1) Система управления организма - поддержание температуры тела, давления крови и т.п.

    2) электроснабжение - стабилизация напряжения и частоты тока.

    3) управление народнохозяйственным комплексом - поддержание стабильных значений основных макроэкономических показателей.

 

    Программное управление - поддержание выходных показателей вблизи заданных значений y0, зависящих от времени заданным образом. Схема - та же, с заменой y0 на y0(t).

    Примеры:

    1) вывод ракеты на спутниковую орбиту, причем наилучшая траектория У0(t) заранее известна - рассчитана, исходя из свойств земной атмосферы и тяготения;

    2) станок с числовым программным управлением;

    3) программа "500 дней".

    4) федеральные и региональные целевые программы социально-экономического развития

 

    Слежение - обеспечение как можно более точного соответствия между состоянием или поведением управляемого объекта и состоянием или поведением какого-либо другого объекта, которым управлять невозможно. Он рассматривается как составная часть среды.

 

         +----------------+  y       ¦

         ¦           ¦<-------------------¦---------+

         ¦ |y-y0|< eps ¦<-------------------¦    ¦

         +----------------+ y0       ¦B   ¦

                      ¦                   ¦    ¦

                      ¦u                 \¦/   ¦

+-------+          ¦               +-------+ ¦

¦ ИЭ ¦_____________¦\¦/¦__________________¦ УО ¦_____¦______

+-------+        ¦/ \¦          x +-------+      y

 

    Примеры:

    1) управление производством товара в зависимости от неуправляемого спроса;

    2) ритм и глубина дыхания, частота пульса в зависимости от физической нагрузки;

    3) зенитная ракета и самолет противника;

    4) антенна радиолокатора и самолет;

    5) робототехническая система "глаз-рука".

 

    При оптимальном управлении нужно наилучшим образом выполнить задачу, стоящую перед объектом, при заданных условиях и ограничениях.

 

         +----------------+  y       ¦

         ¦ y -> max     ¦<-------------------¦---------+

         ¦ v <= y0  ¦<-------------------¦    ¦

         +----------------+ y0       ¦B   ¦

                      ¦                   ¦    ¦

                      ¦u                 \¦/   ¦

+-------+          ¦               +-------+ ¦

¦ ИЭ ¦_____________¦\¦/¦__________________¦ УО ¦_____¦______

+-------+        ¦/ \¦          x +-------+ y

 

 

       Примеры целевых функций: быстродействие, к.п.д., прибыль, расход сырья и полуфабрикатов в технологическом процессе.

 

    2.5. Использование ЭВМ в процессе управления

    Первоначально вычислительные средства использовались как вспомогательные, для выполнения отдельных, наиболее трудоемких операций обработки данных. Основной поток информации о состоянии управлемого объекта и управляющих воздействиях проходил через аппарат управления, состоящий из людей:

 

 

+-------+  +-----------+  y       ¦

¦ ЭВМ +-------¦ Человек ¦<-------------------¦---------+

+-------+  ¦      ¦<-------------------¦    ¦

              +-----------+ y0       ¦B   ¦

                      ¦                   ¦    ¦

                      ¦u                 \¦/   ¦

+-------+          ¦               +-------+ ¦

¦ ИЭ ¦_____________¦\¦/¦__________________¦ УО ¦_____¦______

+-------+        ¦/ \¦          x +-------+ y

 

    Затем, в процессе совершенствования вычислительной техники, последняя стала рассматриваться преимущественно как средство обработки больших объемов информации, ЭВМ теперь следует использовать для восприятия и глубокой переработки информации, поступающей с управляемого объекта.

 

+----------+ информационный выход

¦ Человек ¦<---------+ ЭВМ

+----------+     ¦

  ¦           ¦

  ¦           ¦

  ¦           ¦

  ¦u          ¦

  ¦      +-----------+  y        ¦

_____¦\¦/¦_________¦ ЭВМ ¦<-------------------¦---------+

¦/ \¦    ¦      ¦<-------------------¦    ¦

              +-----------+ y0       ¦B   ¦

                      ¦                   ¦        ¦

                      ¦u                 \¦/   ¦

+-------+          ¦               +-------+ ¦

¦ ИЭ ¦_____________¦\¦/¦__________________¦ УО ¦_____¦______

+-------+        ¦/ \¦          x +-------+ y

 

       К сожалению, многие системы управления формируются по первому способу. Они создают гораздо больше проблем, чем решают. Не высвобождают управленческий персонал и не облегчают его работу, а наоборот - требуют дополнительного персонала и ресурсов. Нужно чтобы ЭВМ состояла при человеке, а не человек при ЭВМ. Но это требует коренной перестройки методов управления, навыков, имеющегося документооборота.

    Нужно добиться того, чтобы руководитель получал именно ту информацию, которая ему нужна для принятия решений. Например, директор не должен знать, какие вагоны не поступили, какой груз находится в каждом вагоне, ему нужно знать по каким выпускаемым изделиям имеется недопоставка сырья. Если же директор не соглашается отказаться от лишней информации, значит он в своей деятельности подменяет начальника отдела снабжения, не умеет правильно руководить. ЭВМ берет на себя информационные входы СУ, избавляет от них человека. Часто стараются и ЭВМ избавить от лишней информации - для этого ставят в пунктах сбора данных микро и мини- ЭВМ, которые осуществляют первичную обработку данных перед отправкой в большую ЭВМ.

 

 

Практическая часть

 

Задача 1. Предприятие производит продукцию двух видов из сырья трех типов. Определить максимум прибыли от реализации с учетом ограничений. Доля сырья первого типа продукции первого и второго вида равны 1 ед. и 2 ед., запасы – 200 ед. Доля сырья второго типа – 1 ед. и 4 ед., запасы – 300 ед. Доля сырья третьего типа – 4 ед. и 1 ед., запасы – 600 ед. Прибыль от единицы продукции первого вида – 5 ед., второго вида – 6 ед.

 

Решение:

 

Сведем исходные данные в таблицу:

 

Тип сырья	Продукция		Запасы, ед.
	I вид	II вид
1	1	2	200
2	1	4	300
3	4	1	600
Прибыль, руб.	5	6	-

 

Пусть Х₁ и Х₂ – количество изделий I и II вида.

 

Z (X) = 5Х₁+6Х₂ → max – целевая функция.

 

Запишем систему ограничений:

 

Х₁+2Х₂ ≤ 200

Х₁+4Х₂ ≤ 300

4Х₁+Х₂ ≤ 600

 

Условие неотрицательности:

 

Х₁ ≥ 0;            Х₂ ≥ 0

 

(1) Х₁=0, тогда Х₂=100;

    Х₂=0, тогда Х₁=200.

 

(2) Х₁=0, тогда Х₂=75;

    Х₂=0, тогда Х₁=300.

 

(3) Х₁=0, тогда Х₂=600;

    Х₂=0, тогда Х₁=150.

 

По полученным координатам точек строим 3 прямые.

 

Многоугольник ОАВСD содержит точки, которые являются допустимыми решениями, т.е. удовлетворяют системе ограничений и условию неотрицательности.

Точка С многоугольника ОАВСD является экстремумом функции.

Найдем ее координаты, решив уравнения прямых, на пересечении которых она лежит, т.е. (1) и (2).

 

Х₁+2Х₂ ≤ 200

Х₁+4Х₂ ≤ 300

 

Х₁= 200 – 2Х₂

(200 – 2Х₂) + 4Х₂≤ 300

Х₂ = 50

Х₁ = 200 – 2·50 = 100.

 

Подставив в целевую функцию значения Х₁ и Х₂, определим максимальную прибыль:

 

Z (X)_max = 5Х₁+6Х₂ = 5·100+6·50 = 800 (руб.)

 

Ответ: Оптимальный выпуск продукции I вида – 100 изделий, II вида – 50 изделий, что позволяет получить максимальную прибыль, равную 800 руб.

 

Задача 2. Для двух текстильных предприятий (ТП) хлопок закупается случайно n₁ раз в течение квартала, при наличии хлопка на одном ТП –    n₂ раз. Хлопок перерабатывается на одном ТП за q₁ часть канала, на двух ТП в 2 раза быстрее. Прибыль для одного работающего ТП составляет π₁, при простое одно ТП терпит убытки в u₁ у.е. Определить среднюю прибыль двух ТП в стационарном режиме и в случае уменьшения времени переработки в R_t раз, если прибыль π₁ увеличивается в R_π раз. Принять решение о возможности уменьшения времени переработки.

Дано:

n₁ = 2;

n₂ = 6;

q₁ = 0,12;

π₁ = 11;

u₁ = 3;

R_t = 1,7;

R_π = 1.

Решение:

Интенсивность потока заявок, пришедших в систему

;

Среднее время обслуживания

;

Интенсивность потока обслуживания заявок

;

Коэффициент загрузки СМО

;

Определим вероятности двухканальной СМО:

р₀ – оба канала свободны;

р₁ – один канал свободен, один канал занят;

р₂ – оба канала заняты.

;

;

.

Сумма вероятностей равна единице:

.

Определим среднюю прибыль:

,

.

В случае уменьшения времени переработки в R_t раз, если прибыль π₁ увеличивается в R_π раз, получим:

;

;

;

;

.

Сумма вероятностей равна единице:

.

Рассчитаем новую среднюю прибыль:

,

.

Ответ: В случае уменьшения времени переработки предприятие терпит убытки.

 

 

Задача 3. Найдите для получения максимальной прибыли за весь данный период времени управленческие решения о времени замены оборудования стоимостью С у. е., если прибыль от использования оборудования Р  и затраты на его ремонт Z изменяются с течением   времени Т.

 

Дано:

С	Р						Z
	Т= 0	Т= 1	Т= 2	Т= 3	Т= 4	Т= 5	Т= 0	Т= 1	Т= 2	Т= 3	Т= 4	Т= 5
10	9	9	9	9	9	9	1	2	4	4	8	9

 

Решение:

 

Определяем чистую прибыль от использования оборудования, расчеты сводим в таблицу 1:

 

π = Р – Z

Таблица 1

	Т= 0	1	2	3	4	5
Р	9	9	9	9	9	9
Z	1	2	4	4	8	9
π	8	7	5	5	1	0

 

Дальнейшие расчеты приведены на рисунке 1.

 

Ответ: Максимальный эффект использования оборудования составит 20 у. е. при его замене после первого, второго или третьего года службы.

 

Список использованной литературы

 

1. Бездудный Ф.Ф., Павлов А.П. Математические методы и модели в планировании текстильной и легкой промышленности: Учебник для вузов. – М.: Легкая индустрия, 1979.

2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2006.

3. Васильков Ю.В., Василькова И.Н. Компьютерные технологии в математическом моделировании: Учебное пособие для вузов. – М.: Финансы и статистика, 2006.