Основные положения теории подобия (теоремы подобия)

 

Основные положения теории подобия заключены в теоремах подобия, которые лежат в основе практического применения теории подобия.

Первая теорема подобия (теорема Ньютон-Бертрана): подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия.

Теорема была сформулирована Ньютоном. Она устанавливает, что единственным количественным условием подобия процессов является равенство критериев подобия натуры и модели.

Отсюда очевидно, что отношение критериев одной системы (натуры) к критериям другой подобной ей системы (модели) всегда равно 1. Например,

 

 

Если отношение констант подобия равно 1, оно носит название индикатора подобия и указывает на равенство критериев подобия.

Следовательно, у подобных явлений индикаторы подобия равны 1.

Первая теорема подобия указывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, результаты которых требуется обобщить: надо измерять те величины, которые входят в критерии подобия.

Вторая теорема подобия (теорема Бэкингем-Федермана): решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между критериями К подобия. Такие уравнения называются уравнениями обобщенных переменных, или критериальными уравнениями, например

 

f(К_1,К₂,К₃,...) = 0,     (5)

 

где К_1,К₂, К₃ — критерии подобия.

Обычно критериальное уравнение записывается в виде зависимости определяемого критерия подобия от определяющих критериев подобия:

 

К₁= f(К₂,К₃,...)_, (6)        

Например,

К₁=АК^m₂Кⁿ₃ (7)

 

где А, т, п — эмпирические показатели.

Определяемым критерием является тот критерий, в который входит определяемая величина. Критерии, в которые входят величины, определяющие ход процесса (v ,μ,ρ, d_э и т.д.), называются определяющими.

Если какой-либо эффект в исследуемом процессе мало влияет на его протекание, то критерии подобия, характеризующие интенсивность данного эффекта, могут не учитываться. В этом случае процесс по отношению к этому эффекту и к критерию подобия становится автомодельным, т.е. независимым. В соответствии с этой теоремой результаты эксперимента, проведенного на модели, можно представлять в виде критериальных уравнений.

Третья теорема подобия (теорема Киринчен-Гухмана): явления подобны, если их определяющие критерии равны.

Следствием равенства определяющих критериев подобия является равенство и определяемых критериев для натуры и модели, поэтому полученная на модели в результате опытов критериальная зависимость будет справедлива для всех подобных процессов, в том числе и для протекающих в промышленной установке. При этом следует учитывать, что полученные уравнения надежно можно использовать только в тех интервалах изменения переменных, которые были использованы при проведении опытов.

Таким образом, для исследования технологических процессов методом подобия необходимо:

1. выбрать дифференциальное уравнение и условия однозначности, описывающие данный процесс; затем путем преобразования найти критерии подобия;

2. опытным путем с помощью моделей установить зависимость между критериями подобия; полученное обобщенное уравнение будет справедливым для всех подобных процессов в пределах изменения определяющих критериев подобия.

Преобразование дифференциальных уравнений методом теории подобия проводится в следующем порядке:

1. каждый из членов дифференциального уравнения умножается на соответствующие константы подобия к_τ, к_v, к_l и т.д.;

2. полученные коэффициенты перед членами уравнения для соблюдения тождественности приравниваются;

3. в полученных индикаторах подобия константы подобия заменяются соответствующими отношениями величин, и полученные комплексы являются критериями подобия.

В табл. 1 приведены основные критерии гидродинамического подобия, которые будут равны для сходственных точек натуры и модели, если они подобны.

 

Таблица 1 - Основные критерии гидродинамического подобия

Критерий	Выражение критерия	Характеристика критериев	Единицы измерения входящих в критерии подобия величин
Кинематический (критерий Рейнольдса)	Rе =υl/ν= υlρ/μ	Характеризует меру соотношения сил инерции и сил трения	υ - скорость, м/с; l- определяющий размер, м; ρ - плотность, кг/м3; μ - динамическая вязкость, Па-с; ν - кинематическая вязкость, м2/с; g- ускорение свободного падения, м/с2; р - давление, Па;  τ-время, с
Гравитационный (критерий Фруда)	Fr =υ2/gl	Характеризует меру соотношения сил инерции и сил тяжести
Гидравлического сопротивления (критерий Эйлера)	Еu =∆p/ρ υ2	Характеризует меру соотношения сил гидростатического давления и сил инерции
Гомохронности	Но = υτ/l	Характеризует неустановившееся движение жидкости

 

Таким образом, дифференциальное уравнение Навье - Стокса, описывающее движение вязкой жидкости, может быть представлено в виде критериального уравнения:

f(Rе, Но, Fr, Еu) = 0 (8)

 

Уравнение (8) является обобщенным критериальным уравнением гидродинамики. Все критерии уравнения (8), кроме критерия Ей, являются определяющими, так как они составлены из величин, входящих в условия однозначности. Критерий Эйлера, в который входит величина ∆р, являющаяся целью расчета, будет определяемым критерием.

Тогда

 

Еu = f(Rе, Но, Fr) или

Еu = AНо^сRе^тFr^п,    (9)

 

где А,c,т,п- эмпирические показатели.

В ряде случаев уравнение (19) дополняют геометрическим симплексом l / d:

 

Еu = AНо^сRе^тFr^п(l / d)^b, (10)

 

где b- эмпирический показатель.

При установившемся движении критерий Но исключается из критериального уравнения:

 

Еu = ARе^тFr^п(l / d)^b.  (11)

В случае, если скорость движения жидкости не определена, в расчеты вводят производные или модифицированные критерии подобия, составленные из основных критериев. В этих критериях подобия неизвестная величина υ заменяется другими величинами, которые сравнительно легко определяются экспериментально или аналитически.

Возьмем отношение критериев Rе и Fr:

 

 (12)

 

Полученный безразмерный комплекс величин называется критерием Галилея. Если умножить этот критерий на отношение ( ρ ₁ - ρ ₂ )/ ρ ₂ , то получается новый критерий подобия — критерий Архимеда

 

 (13)

 

где ρ ₁ , ρ ₂— плотности жидкости в разных точках, кг/м³.