Главная | О нас | Обратная связь Автоматизация Автостроение Антропология Археология Архитектура Астрономия Предпринимательство Биология Биотехнология Ботаника Бухгалтерский учет Генетика География Геология Государство Демография Деревообработка Журналистика и СМИ Зоология Изобретательство Иностранные языки Информатика Информационные системы Искусство История Кинематография Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Литература Логика Маркетинг Математика Математический анализ Материаловедение Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика ОБЖ Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Программирование Производство Промышленность Психология Радио Разное Социология Спорт Статистика Строительство Теология Технологии Туризм Усадьба Физика Физиология Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электротехника Затраты на одно изделие 2019-12-29 176 Обсуждений (0) Затраты на одно изделие 0.00 из 5.00 0 оценок Скачать документ 123 ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МЕЖРЕГИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ ОТРАСЛЕВЫХ  ТЕХНОЛОГИЙ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА     Утверждаю Зам. директора по учебной части                                                                                    «  »                 200 г. ЗАДАНИЕ на курсовое проектирование по предмету «Математические методы»   Студенту: Сергееву Евгению Анатольевичу. Тема проекта: «Линейное программирование, решение задач симплексным методом».   ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА   Введение                                                                                                 Теоретическая часть                                                                             Практическая часть                                                                             Задачи и их решение:   Задача первая: Решить задачу симплекс методом:                 X1+3X2≤300                X1+X2≤150            X1≥0            X2≥0        F = 2X1+3X2 → max   3.1.2 Задача вторая:   Предприятие выпускает продукцию двух видов. Виды сырья, его запасы, нормы расхода сырья на у. е. каждого вида продукции, прибыль производства от реализации продукции даны в таблице:     Виды сырья   Расход сырья на продукцию Запасы сырья 1 2 1 1 3 20 2 2 1 10 3 2 2 17 Прибыль 2 1     Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль была наибольшей?   3.1.3. Задача третья:   На предприятии выпускают 3 вида изделий, при этом используют 3 вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице:     Виды сырья   Расход сырья на продукцию Запасы сырья 1 2 3 1 2 3 7 1250 2 1 1 0 250 3 5 3 0 900 Прибыль 41 35 96     Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль была наибольшей?   3.1.4. Задача четвертая:            Для изготовления 4 видов продукции используются 3 вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице:     Виды сырья   Расход сырья на продукцию Запасы сырья 1 2 3 4 1 2 3 3 1 20 2 1 1 2 2 11 3 1 2 3 1 25 Прибыль 2 4 3 2     Как следует спланировать выпуск продукции, чтобы прибыль была наибольшей?   Заключение                                                                                                  Список литературы                                                                                                Председатель цикловой комиссии                                    /Баранов В.А. Руководитель курсового проекта                                                                 /Карпушкин А.Г.                                                                                                                                              Дата выдачи задания:                                                                                                   Срок окончания:               « »                              2007 г.                                             « »                         2007 г.     СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД       Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 г., однако, еще в 1939 г. идеи метода были разработаны российским ученым Л В.Канторовичем.     Симплексный метод, позволяющий решить любую задачу линейного программирования, универсален. В настоящее время он используется для компьютерных расчетов, однако несложные примеры с применением симплексного метода можно решать и вручную.    Для реализации симплексного метода — последовательного улучшения решения — необходимо освоить три основных элемента: • способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи; • правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению; • критерий проверки оптимальности найденного решения.   Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде уравнений.   Обыкновенные жордановы исключения     Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными                    a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,                  ……………                  am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm.     Запишем эту систему в виде таблицы     x1 xj xn b1 = a11 … a1j … a1n   ……………….. bi = ai1 … aij … ain   ……………….. bm = am1 … amj … amn      Шагом обыкновенного жорданова исключения (ОЖИ), произведенным над данной таблицей с разрешающим элементом aij ≠ 0 с I разрешающей строкой и j разрешающим столбцом, назовем операцию решения уравнения      bi = ai1x1 + ai2x2 + … + aijxj + … + ainxn   относительно xj, подстановки этого решения в исходную систему и записи вновь полученной системы в виде новой таблицы.   Нетрудно проверить, что новая таблица будет иметь вид     x1 x2 … bi… xn b1 = b11 b12 … a1j … b1n b2 = b21 b22 … a2j … b2n … ……………….. xj  -ai1    –ai2 … 1... -ain … ……………….. bm = bm1 bm2 … amj … bmn   : aij, где brs = arsaij - arjais (i ≠ r, j ≠ s),   причем все элементы таблицы нужно разделить на aij.   Таким образом, один шаг жорданова исключения (ШЖИ) переводит исходную таблицу в новую по схеме, состоящей из следующих 5 правил: 1) разрешающий элемент заменяется единицей 2) остальные элементы разрешающего столбца j остаются без изменения. 3) остальные элементы разрешающей строки i меняют лишь свои знаки. 4) остальные элементы  brs вычисляются по формуле  brs = arsaij - arjais 5) все элементы новой таблицы делятся на разрешающий элемент aij.     Пример 1. Для таблицы     X1 X2 X3 Y1 = 1 -2 3 Y2 = -1 1 2 Y3 = 2 -1 -1   один шаг жорданова исключения с разрешающими 2-й строкой и 3-м столбцом приводим к таблице                      X1 X2 Y2 Y1 = 5 -7 3 X3 = 1 -1 1 Y3 = 3 -1 -1   : 2    Жордановы исключения позволяют от случайно взятой декартовой системы координатных плоскостей перейти к новой системе, в которой координатами точек являются их уклонения  от более интересной для той или другой задачи системы плоскостей.   Модифицированные жордановы исключения      Если исходную систему уравнений ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi, где i = 1,m,      записать в виде –ai1(-x1) – ai2(-x2) - … - ain (-xn) = bi   и составить таблицу       -X1 -X2 …-Xn b1 = –a11 –a12 … –a1n …. ………….. bm = –am1 –am2 … –amn   то в этих случаях вместо ОЖИ пользуются МЖИ. Один шаг МЖИ с разрешающим элементом “-ars”, означает переход к новой таблице     -X1 … -Yr … -Xn b1 = b11  ... a1s  … b1n …. ……………………. xs = -ar1  … 1   … -ar n …. ……………………. bm = bm1 … ams … bmn   : (-ars) которая получается по правилам 1 – 5 ОЖИ с тем лишь изменением, что правила 2 и 3 меняются ролями: 1) остальные элементы разрешающей строки остаются без изменения 2) остальные элементы разрешающего столбца меняют лишь свои знаки Рассмотрим систему   2X1 + 3X2 – 5X3 = 16 = b1,    3X1 - 2X2 + 4X3 = 36 = b2,    5X1 + 7X2 – 11X3 = 44 = b3.   Запишем ее в виде таблицы         -x1 -x2 -x3 b1 = -2 -3 5 b2 = -3 2 -4 b3 = -5 -7 11     и произведем один шаг МЖИ с разрешающим элементом “2”     -x1 -b2 -x3 b1 = -13 3 -2 x2 = -3 1 -4 b3 = -31 7 -6   : 2 Экстремумы линейной функции        Пусть рассматривается общая задача линейного програм­мирования. Воснове вычислительных методов ЛП лежит следующая фундаментальная теорема.      Теорема. Если задача линейного программирования име­ет оптимальное решение (в ограниченной области всегда, а в неограниченной области в зависимости от ограниченности функции Z), то оно совпадает по крайней мере с одним из опорных решений системы ограничительных уравнений.      Согласно этой теореме вместо исследования бесконечно­го множества допустимых решений с целью нахождения сре­ди них искомого оптимального решения, необходимо иссле­довать лишь конечное число опорных решений.      Данная теорема утверждает, что существует по край­ней мере одно опорное оптимальное решение, однако, в за­дачах могут встретиться несколько опорных оптимальных решений (альтернативный оптимум). Следовательно, принципиальная схема решения задач линейного программирования следующая:   1. С помощью ЖИ найдем все опорные решения систе­мы.   a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1, ……................... ak1x1 + ak2x2 + … + aknxn = bk, ak+1,1x1 + ak+1,2x2 + … + ak+1nxn ≤ bk+1, ……................... am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm.   2. Вычислим для каждого из них значение функции Z, определяемое соотношением.      Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn.   3. Выберем из них экстремальное Z.      Следует отметить, что может оказаться очень большое число опорных решений, поэтому нужно производить упо­рядоченный перебор опорных решений, добиваясь на каж­дом шаге монотонного изменения функции Z.    Такая идея последовательного улучшения решения и за­ложена в основном вычислительном методе решения задач линейного программирования, получившим название симп­лексного метода.   Симплексный метод на основе полных таблиц   Постановка задачи об определении оптимального ассортимента продукции      Предприятие может производить два вида изделий А и В, располагая для их изготовления ограниченными ресурса­ми материала чугуна и стали соответственно в количествах 350 и 392 кг и оборудования в количестве 408 станко-часов. Данные, представленные в виде таблицы, характеризуют затраты каждого из перечисленных трех видов ресурсов на изготовление одного изделия А и В. Требуется определить сколько изделий А и В должно про­изводить предприятие, чтобы достичь наибольшей прибыли.     Виды ресурсов	Объем ресурсов	Затраты на одно изделие
А		В
Чугун	350	14	5
Сталь	392	14	8
Оборудование	408	6	12
Прибыль в руб.		10	5

   Введем искомые неизвестные Х₁ и X₂, обозначающие число изделий А и В, которые должно производить пред­приятие.

   Тогда математически задачу можно сформулировать сле­дующим образом.

Среди множества неотрицательных решений системы неравенств

   14X₁ + 5Х₂ ≤ 350,    (1.1)

   14Х₁ + 8Х₂ ≤ 392,

   6Х₁ + 12Х₂ ≤ 408,

найти такое решение, для которого функция

   Z = 10 Х₁ + 5 Х₂

достигает наибольшего значения.

Геометрическое решение задачи

   Прежде всего, построим область допустимых решений, соответствующую системе неравенств.

  Для этого, заменив каждое из неравенств равенством

         14Х₁ + 5Х₂ = 350, (1-я прямая),

         14X₁ + 8Х₂ = 392, (2-я прямая),

         6Х₁ + 12Х₂ = 408, (3-я прямая),

строим граничную линию. Учитывая, что Х₁ ≥ 0 и Х₂ ≥ 0, полу­чаем заштрихованную часть плоскости, образующую много­угольник решений OABCD (рис.1).

   Затем строим линию уровня 10Х₁ + 5Х₂ = 0 и вектор (10;5), которые взаимно перпендикулярны. Нетрудно показать, что вектор дает направление наибольшего возрастания линей­ной функции.

   Действительно

Z₀ = 10X₁₀ + 5Х₂₀ = 10 * 0 + 5 * 0 = 0,

Z_А = 10X_1A + 5Х_2A = 10 * 0 + 5 * 34 = 170,

Z_D = 10X_1D + 5X_2D = 10 * 25 + 5 * 0 = 250 и т. д.

    Из всех линий уровня выбираем две, из которых одна проходит через точку 0 и дает min значение функции Z, а другая проходит через точку С и функция Z для нее прини­мает mах значение. Эти линии уровня называются опорными.

Рис. 1

   Точка C образована первой и второй прямыми. Следова­тельно, решая систему уравнений

   14Х_l + 5Х₂ = 350,

   14Х₁ + 8Х₂ = 392,

найдем координаты точки C

    Х₁ = 20, Х₂ = 14,

при этом Z_max = 10 * 20 + 5 * 14 = 270 руб.

   Таким образом, mах прибыль в 270 руб. будет получена, если предприятие произведет 20 изделий вида А и 14 изде­лий вида В.

Отыскание максимума линейной функции

   В основе симплексного метода решения задач линейного программирования лежит с некоторыми дополнениями разоб­ранный ранее метод последовательных исключений, представ­ляющий собой совокупность удобных вычислительных алгорит­мов, построенных на последовательном применении тождествен­ных (симплексных) преобразований системы уравнений.

Добавляя к левой части неравенств

   14X₁ + 5Х₂ ≤ 350,

   14Х₁ + 8Х₂ ≤ 392,

   6Х₁ + 12Х₂ ≤ 408,

некоторую нео­трицательную величину Y_j ≥ 0 (i = 1, 2, 3),      (1.2)

называемую выравнивающей или базисной переменной, пре­вратим их в уравнения:

	14	Х1 + 5Х2 + У1		= 350,
	14	Х1 + 8Х2	+ У2	= 392,
	6	X1 + 12Х2	+ У3	= 408,
	-10	X1 - 5Х2		+ Z = 0.

(1.3)
 

   При этом можно показать, что каждому решению систе­мы неравенств (1.1) соответствует единственное решение си­стемы уравнений (1.3) и неравенств (1.2) и наоборот.

   Каждая из переменных Y_1, У₂, У₃ входит только в одно уравнение и зависит от переменных Х₁ и X₂, которые мы на­зываем свободными.

Системе (1.3) соответствует исходное допустимое базис­ное решение X₁ = X₂ = 0; 

Y₁ = 350; Y₂ = 392; Y₃ = 408 и Z = 0.

   Выполняем первое тождественное преобразование системы уравнений (1.3). Выбираем разрешающий столбец, соот­ветствующий наименьшему отрицательному элементу в Z стро­ке, ибо теоретически установлено, что при этом можно ожи­дать при прочих равных условиях большего увеличения фун­кции Z. Правую часть уравнений делим на элементы разре­шающего столбца и выбираем наименьшее положительное отношение, соответствующее разрешающей строке (уравне­нию). На пересечении выделенных столбца и строки стоит разрешающее число.

   Первое уравнение делим на разрешающее число и вы­писываем получившееся уравнение. Умножая это уравнение на 14, 6 и -10 и вычитая соответственно из 2-го, 3-го и 4-го уравнений системы (1.3), придем к следующей системе (1.4):

 
(1.4)

     Подобное тождественное преобразование, при котором выбор разрешающего числа производится по указанному правилу, будем называть симплексным преобразованием.

   Таким образом, симплексное преобразование выполня­ется по следующему правилу:

1. Выбирается разрешающий столбец, соответствующий наименьшему отрицательному           элементу в Z - строке.

2. Выбирается разрешающая строка, которая соответству­ет наименьшему     положительному из отношений элементов правой части уравнений на соответствующие элементы раз­решающего столбца. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей    строки стоит разрешающее число.

3. Элементы разрешающей строки делятся на разрешаю­щее число.

4. Вычисляются элементы всех остальных строк по фор­муле:

     Из системы (1.4) находим второе допустимое базисное решение Х₂ = Y_l = 0; X₁ = 25; Y₂ = 42; Y₃ = 258, которому соответствует новое увеличенное значение функции Z = 250.

     Таким образом, процесс последовательных симплексных преобразований является процессом последовательного улуч­шения решения. При этом:

1. Если в Z - строке найдется хотя бы один отрицатель­ный элемент и

      а) в разрешающем столбце найдется хотя бы один положительный элемент, то можно улучшить решение;

      б) если же разрешающий столбец не содержит поло­жительных элементов, то функция Z неограниченно воз­растает.

2. Если все элементы в Z - строке неотрицательны, то достигнуто оптимальное решение.

    Это и есть достаточные условия существования оптималь­ного плана решения.

В системе (1.4) коэффициент при Х₂ в Z - строке отри­цательный, поэтому второй столбец будет разрешающим. Находим, что вторая строка будет разрешающей. Далее про­изводим симплексное преобразование системы (1.4) соглас­ном указанному правилу:

     X₁ + 8/42 Y₁ – 5/42 Y₂ = 20,

     X₂ – 1/3 Y₁ + 1/3 Y₂ = 14,

    20/7 Y₁ – 23/7 Y₂ + Y₃ = 120,

    10/42 Y₁ + 20/42 Y₂ + Z = 270,  (1.5)

           Так как в Z - строке все элементы неотрицательны, то данный план является оптимальным. При этом Y_l = Y₂ = 0; X₁ = 20; Х₂ = 14 и Z_max = 270.

       Выполнение симплексных преобразований связано с кро­потливыми и часто довольно громоздкими вычислениями. Эти вычисления можно в значительной степени упростить, ис­пользуя для решения задач так называемые симплексные таблицы.

       Каждое симплексное преобразование системы сводится к переходу от одной симплексной таблицы к другой.

       Соответственно исходной системе уравнений (1.3) состав­ляем первую симплекс-таблицу (табл. 1.1).

Таблица 1.1

      Первый столбец - это столбец базисных переменных, во втором столбце стоят свободные коэффициенты правой части уравнений (1.3), в первой строке располагаются все переменные, последний столбец - это контрольный столбец и коэффициенты в нем равны сумме всех коэффициентов по строке.

Из табл. 1.1 имеем первое допустимое решение системы (1.3) Х₁ = Х₂ = 0, Y₁ = 350,

Y₂ = 392, Y₃ = 408, Z = 0, которое соответствует вершине О (0,0) многоугольника допустимых решений OABCD (рис.1).

Переход ко второй симплекс-таблице (табл. 1.2) выпол­няется согласно указанному в этом пункте правилу для сим­плексных преобразований систем уравнений, при этом раз­решающая переменная Х₁ идет в базис вместо разрешающей переменной Y₁ Получаем табл. 1.2.

Таблица 1.2

      После заполнения табл. 1.2 следует проверить правиль­ность ее заполнения, для чего суммируем коэффициент по строкам и эта сумма должна быть равна коэффициентам, сто­ящим в соответствующих клетках контрольного столбца. Из табл. 1.2 второе допустимое решение будет Х₁ = 25, Х₂ = 0, Y₁ = 0, Y₂ = 42, Y₃ = 258 и Z = 250.

     Нетрудно видеть, что эта таблица соответствует систе­ме (1.4), а опорное решение

Х₁ = 25, Х₂ = 0 соответствует вершине D(25,0) многоугольника решений.

     Так как в Z - строке имеется отрицательный элемент, то улучшаем решение, для чего составляем симплексную табл. 1.3.

Таблица 1. 3

* Примечание. Для простоты вычислений следует помнить, что в новой таб­лице на месте элементов разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) стоят нули. Если в разрешающей строке стоят нули, то в новую таблицу соответствующие столбцы переносятся без изменения:

      Так как в Z - строке нет отрицательных элементов, то данное решение будет оптимальным.

Табл. 1.3 соответствует системе уравнений (1.5) и опти­мальному решению Х₁ = 20,

Х₂ = 14 и Z_max = 270 и вершине С (20,14) многоугольника допустимых решений OABCD.

     Подобные удлиненные таблицы, содержащие в первой строке все переменные, благодаря наличию контрольного столбца позволяют контролировать правильность заполнения таблиц и избежать арифметических ошибок.

2019-12-29

176

Обсуждений (0)

Затраты на одно изделие 0.00 из 5.00 0 оценок

Скачать документ