Как найти процентное отношение чисел?

Как найти процент от числа?

Чтобы найти процент от числа, надо:

- выразить процент обыкновенной или десятичной дробью;

- умножить данное число на эту дробь.

Например,

найдём 18% от 20.                              Найдём 4 % от 8.

18% = 0,18                                          4% = 0,04

20*0,18 = 3,6                                       8*0,04 = 0,32

Можно и так:

20:100*18 = 3,6                                   8:100*4 = 0,32

Как устно найти, а% от в (или в% от а)?

Найдём

а% от в:          в:100 * а = а*в:100.

и

в% от а:          а: 100 * в = а * в: 100.

Результаты одинаковые.

 

Значит, вместо того, чтобы находить 12 % от 25, найдём 25 %

От 12. Это будет 3.

18 % от 50, т.е. 50 % от 18. 1/2 *18 = 9.

15 % от 20, т. е. 20 % от 15. 1/5 * 15 = 3.

Можно и так :

18 % от 50               18 * 50 : 100 = 900 : 100 = 9.

15 % от 20               15 * 20 : 100 = 300 : 100 = 3.

14 % от 5                 14 * 5 : 100 = 70 : 100 = 0,7.

8 % от 125               8 * 125 : 100 = 1000 : 100 = 10.

При решении задач на нахождение процента от данного числа, важно помнить от какого числа находить процент.

Задача[9]. Длина прямоугольного участка 120 м, а ширина составляет 75 % длины. Вспахано 35 % этого участка. Сколько гектаров не вспахано?

Длина - 120 м                                    35 % площади вспахано

Ширина – 75 %                                   65 % площади не вспахано

120* ( 120 * 75 : 100 ) * 65 : 100 = 7020(м² ) = 0,702(га)

Или

120 * (120 * 0,75) * 0,65 = 7020(м ²) = 0,702(га).

Задача [9] . Длина дистанции трёхдневной велогонки была 480 км. В первый день велогонщики проехали 25 % всего пути, а во второй 55 % оставшегося пути. Сколько километров проехали велосипедисты в третий день?

1день – 25 %                    480 : 4 = 120(км) – проехали в1 день.

2 день – 55 % остатка      480 – 120 = 360(км) – остаток.

3 день - ?                           360 * 0,55 = 198(км) – проехали во 2 день.

360 – 198 = 162(км) – проехали в 3 день.

Задача[11].    Телевизор стал дороже на 10 %, а потом его цена понизилась на 10 %. Стал он дороже или дешевле?

Телевизор стал дешевле, т. к. второй раз 10 % берётся от большего числа.

Как найти число по его проценту?

Чтобы найти число по его проценту, надо:

- выразить проценты дробью;

- разделить данное число на эту дробь.

Задача [8] . Найти число, 4 % которого равны 8.

4 % = 0,04, 8 : 0,04 = 800 : 4 = 200 или 8:4*100=200.

Задача [8] (устно). Найти число, 25 %, 20 %, 10% которого равны 12.

Ответ : 48, 60, 120.

Задача [12] . 36 участников соревнований по лыжам стартовали на дистанции 3 км, а остальные 55 % участников стартовали на дистанции 2 км. Сколько участников стартовало на дистанции 2 км?

Решение.

3 км -  36 участников.

2 км -?, 55% всех.

 1 способ.

100%-55%=45% -                                на 3 км

36: 0,45 = 3600 : 45 = 80(уч.) – всего         

80 – 36 = 44(уч.) –                     на 2 км.

2 способ.

100%-55%=45% -             на 3 км

36 : 45 * 55 = 44(уч.)- на 2 км.

Задача [8] . Тупой угол разбит двумя лучами на 3 угла. Найти его величину, если один из углов 78˚, другой составляет 40 % от ÐАВС, а третий 20 % от второго.

Пусть х – величина ÐАВС, тогда ÐКВМ = 0,4х, а ÐМВС = 0,4х * 0,2 = = 0, 08х, т.к.

ÐАВК=78˚, то 78˚ + 0,4х + 0,08х = х.

х – 0,48х = 78˚

0,52х = 78˚

х = 78˚: 0,52

х = 150˚.

Ответ : величина тупого угла 150˚.

Как найти процентное отношение чисел?

Чтобы найти процентное отношение чисел надо :

 отношение этих чисел умножить на 100 ( а : в * 100 ).

Например. Сколько процентов составляет 150 от 600?

150: 600 * 100 % = 25 %.

Чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо:

а) найти, на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;

б) сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины.

Задача[8]. Найти изменения величины в процентах, если она именилась:

а) от 40 до 48?                                    в) от 200 до 50?

48 – 40 = 8                                                    200 – 50 = 150

8 : 40 = 0,2 = 20 %.                             150 : 200 = 0,75 = 75 %.

Величина увеличилась на 20 %         Величина уменьшилась на 75 %.

Задача [11] .    Как изменится площадь и периметр квадрата, если его сторону увеличить на 20 %?

	была	стала	изменилась
сторона квадрата	Х	1,2Х	0,2Х	20 %
площадь	Х2	1,44Х2	0,44Х2	44 %
периметр	4Х	4,8Х	0,8Х	20 %

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕМЕ РЕФЕРАТА

В сборниках тестов по математике  для промежуточной аттестации включено много заданий на вычисление процентов. А много ли их в наших учебниках? Оказалось, что не так и много, причем большее их число приходиться на 5-6 классы.

Математика  5класс [1]	65 задач
Математика 6 класс [2]	90 задач
Алгебра    7 класс [4]	15 задач
Алгебра   8 класс [5]	в 5 заданиях
Алгебра 9 класс [6]	30 задач
Сборник тестов для промежуточной аттестации (под редакцией Лысенко Ф.Ф., 2008 год) [15]	в 24 вариантах из 30
Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ (под редакцией Денщиковой А.Г., 2005 год) [14]	в 18 заданиях из 280

Умеют ли решать задачи на проценты ученики нашей школы? Для  выяснения этого вопроса были составлены и предложены для решения  простейшие, типовые задачи:

1. Сколько человек в театре, если 1 % всех зрителей составляет 7 человек?

2. За первую четверть ученик получил «отлично» по 4 предметам из 16. Сколько процентов «отличных» баллов у этого ученика?

3. Первую четверть 67,5% учащихся лицея закончили удовлетворительно, а остальные имели хорошие и отличные оценки. Сколько процентов учеников имели хорошие и отличные оценки?

4. 15 % от 40 – это сколько?

 

 

Получили следующие результаты:

Решали задачи	6«а»кл.	6«б» кл.	7«а»кл.	7«б»кл.	8кл.	9кл.	всего
Количество учащихся	9	12	12	16	20	15	84
№1	3	6	6	15	11	14	54 (64%)
№2	1	0	0	4	4	8	17 (20%)
№3	1	0	9	12	4	7	33 (40%)
№4	1	0	1	1	3	6	12 (14%)

Из таблицы видно, что ученики школы слабо решают задачи на проценты т.к. не знают алгоритмов решения типовых задач и свойств, рационализирующих вычисления.

Задачи №2 и №4 оказались самыми сложными. Только 2 ученика из 8 класса справились с решением всех четырех задач. Лучший результат у учеников 9 класса и совсем слабые знания процентов у учеников шестых классов.

Для того чтобы научиться решать задачи на процентные вычисления, а также увидеть необходимость этого умения во взрослой жизни, в этой работе представлен комплекс задач для устных и письменных вычислений.

Для устного решения:

1. Найти 1% от:

А) 34000 р.;                     г) 700 овец;

Б) 1 км ;                           д) 6 тыс. жителей;

В) 200г;                             е) 12 т.

2. Найти целое, если 1% от него составляет:

А) 10 р;                             г) 0,03 а ;

Б) 38 чел;                          д) 5 кг;

В) 0,2 л;                            е) 3 мин.

 

3. Найти:

А) 50% от 200;                 Г) 20% от 50;

Б) 20% от 750;                  Д) 25% от 1200;

В) 10% от 15000;                       Е) 75% от 40.

4. Что больше:

А) 15% от 17 или 17% от 15?

Б) 72% от 20 или 70% от 22?

В) 1,2% от 17 или 12% от 170?

На расчеты в жизненных ситуациях [10]:

1. Цену товара снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара?

2. При приеме на работу директор предприятия предлагает зарплату 9000 рублей. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц?

Замечание: при начислении налога на доходы физических лиц учитывать вычет 400 рублей, налог 13% берется от оставшейся суммы.

3. Занятия ребёнка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке ежемесячно по 250 рублей. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придётся заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

4. Цена за лечение пульпита составляет 250% от цены за лечение кариеса. Сколько денег пришлось потратить родителям шестиклассника, если при осмотре у него обнаружился кариес на трёх зубах и пульпит на двух, а лечение одного кариозного зуба стоило 356 рублей?

На тему «Здоровье» [13] :

1. Повышенную работоспособность человек испытывает два раза в день – с 9 до 13 ч дня и с 19 до 21 ч вечера. Какую часть суток человек испытывает прилив сил? Выразите ответ дробью и в процентах.

2. В период эпидемии гриппа 70% учащихся 7 класса заболели. Сколько учеников «устояло» перед вирусом, если всего в классе 20 человек? 

3. Неразумный молодой человек выкуривает в день пачку сигарет по цене 24,8 р. Какой процент своего месячного заработка он тратит на сигареты, если зарабатывает 3500 рублей в месяц?

4. В России ежегодно умирает 500000 мужчин среднего возраста. 42% из них умирает из-за болезней, связанных с курением. Сколько человек могли бы продолжать жить, если бы своевременно бросили курить?

5. Из 32 учащихся восьмых классов в день контрольной работы 25% болели гриппом, 25% из оставшихся болели ОРВИ и двое из оставшихся просто проспали. Сколько учеников «мужественно сражалось» с заданиями контрольной работы?

6. Учебный год состоит из 9 месяцев. Каникулы и праздники отнимают месяц. Полноценно ученик работает только вторник, среду и четверг. Сколько дней за учебный год ученик проработал полноценно? Какую часть эти дни составляют от всего учебного времени? Выразите ответ в процентах.

Занимательные задачи [12] :

1. На складе хранится центнер огурцов. Влажность их (т. е. количество содержащейся в них воды) составляет 99%. Полежав на складе, огурцы подсохли. Теперь их влажность составила 98%. Каким стал вес всех этих огурцов?

2. Витя Верхоглядов записал два числа. Нашёл 1% каждого числа. Полученные числа оказались равными. Может ли такое быть?

3. Задумайте десятичную дробь. Умножьте её на 100. Найдите 1% полученного числа. В итоге получилось задуманное число. Почему?

4. У горного барана весом150 кг масса рогов равна 30 кг. Сколько процентов составляет масса рогов от веса тела: 20% или 25%?

5. Рост человека археологи могут определить даже по отдельным костям. Например, длина малой берцовой кости составляет 22% роста человека, а локтевой кости составляет 16% роста человека.

А) При раскопках нашли малую берцовую кость длиной 39,3 см. Каков был рост человека?

Б) Как можно доказать, что локтевая кость длиной 20,3 см не могла принадлежать тому же человеку?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе сделана попытка раскрытия практической значимости понятия «процент» и показа широты применения процентных расчетов в реальной жизни через рассмотрение различных типов задач на простые проценты. Подобраны некоторые виды задач на процентные расчеты, а также показаны устные и письменные приемы, рационализирующие вычисления:

а) для устных упражнений (найти, а% от в или в% от а) по формуле: а*в:100

б) для определения процентного отношения чисел а и в по формуле: а:в*100

в) при арифметическом решении: находить, сколько того или иного вещества приходится на один процент.

Производить процентные расчеты необходимо уметь каждому человеку не только для успешной аттестации в школе, но и для того чтобы  знать широту их применения во взрослой жизни. Только тогда, например, обманутый в торговой сделке покупатель может обоснованно требовать процент торговой скидки или вкладчик сбережений будет учиться жить на проценты, грамотно вкладывая деньги в прибыльное дело.

ЛИТЕРТУРА

1 Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чеснаков А.С., Швацбург С.И. Математика 5. – М.: Мнемозина, 2007,

2 Математика 6. – М.: Мнемозина, 2007.

3 Мордкович А.Г., Александрова Л.А., Мишустина Т.Н.,

Тульчинская Е.Е., Семёнов П.В.

4 Алгебра 7. – М.: Мнемозина, 2007,

5 Алгебра 8. – М.: Мнемозина, 2009,

6 Алгебра 9.- М.: Мнемозина, 2009.

7 Эциклопедический словарь юного математика /сост. Э-68

Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.

8 Математика 8 – 9 классы: сборник элективных курсов / авт. – сост. Сагателова Л.С., Студеницкая В.Н. – Волгоград: Учитель, 2006.

9 Математика 5 класс: 2 полугодие: Подсказки на каждый день: Рабочая тетрадь. – М.:Гуманит. изд. Центр ВЛАДОС, 1998.

10 Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.

11 Шарыгин И.Ф. Математический венигрет.: - М.:Орион, 1991.

12 Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Кн. для учителя – М.: Просвещение, 1995.

13 Акимова Т.А.: Сборник заданий по математике на тему здоровье. 5 – 9 классы: Методическое пособие. М.: 2003.

14 Учебно-тренировачные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика - М.:Интеллект-центр. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др.,2005.

15 Сборник тестов для промежуточной аттестации под редакцией Лысенко Ф.Ф., 2008 год

ПРИЛОЖЕНИЕ:

Ответы и решения.

Для устного решения

1. а)340р;  в)2г;      д)60жит;

б)10м;   г)7овец; е)120кг.

 

2. а)1000р; в)20л;    д)500кг;

б)3800ч; г)3а;      е)5ч.

 

3. а)100;    в)1500;  д)300;

б)150;    г)10;      е)30.

 

4. а)1,5*17=1,7*15

б)7,2*20>0,7*22

в)0,012*17<,012*170