временные и частотные характеристики устройства, реализующего метод кусочного размножения оценок

В общем случае выражение (10) можно рассматривать как уравнение дискретного фильтра. Рассмотрим предлагаемый метод оценивания с точки зрения реализации его в виде дискретного фильтра и получим его системную функцию [3].

В общем виде системная функция линейного стационарного дискретного фильтра представляет собой отношение -преобразования выходного сигнала к -преобразованию входного сигнала [3, 4]. Сопоставим дискретным сигналам ,  и импульсной характеристике  дискретного фильтра соответственно их Z -преобразования ,  и . Так как выходной сигнал является сверткой входного сигнала с импульсной характеристикой устройства, то можно записать [3, 4]:

 

. (16)

 

Таким образом, чтобы определить системную функцию дискретного фильтра (16), необходимо определить его импульсную характеристику, которая является откликом системы на единичное воздействие.

В этом случае функция единичного скачка, подаваемого на вход, описывается выражением [1]:

, , (17)

 

где переменная  определяет положение единичного импульса в исходной выборке, подаваемой на вход.

В случае стационарной системы ее отклик не зависит от  [3]. Отметим, что рассматриваемый метод имеет особенности, связанные с тем, что способы оценивания на интервалах исходной выборки ,  и  различны. Таким образом, введем начальные условия, которые заключаются в определении отклика системы на интервале .

В этом случае функция единичного скачка (17), подаваемого на вход, перепишется в следующем виде:

 

, .                                     (18)

 

Используя выражение (5) и определение исходного сигнала (14), запишем отклик системы, описываемой выражением (6):

 

, (19)

 

где индекс  в  показывает степень аппроксимирующего полинома.

Анализ выражения (10) показывает, что отклик системы  является четной функцией относительно , тогда выражение (19) для интервала  перепишется следующим образом:

. (20)

 

На рис. 8 представлен график функции ,  при различных значениях параметра . Так как пространство аппроксимирующих функций (2) ограничено условием , то представлены графики функции  при ,  и  [9]. Зависимости, показанные на рис. 8, получены при фиксированном значении ширины интервала разбиения . Анализ результатов, представленных на рис. 8, показывает, что полученные импульсные характеристики фильтра имеют затухающий характер. Отклик системы на единичное воздействие при  имеет треугольную форму, с ростом значения , характеристика принимает затухающий характер и колеблется относительно нуля. Число колебаний импульсной характеристики пропорционально параметру . Импульсная характеристика по модулю не превосходит некоторой постоянной величины, что позволяет сделать вывод об устойчивости анализируемого фильтра [3, 4].

 

 

Рис. Импульсная характеристика дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при различных степенях аппроксимирующего полинома  на каждом интервале разбиения

Длина импульсной характеристики определяется параметром  и является четной функцией относительно . Таким образом, дискретный фильтр представляет собой КИХ фильтр (дискретный фильтр с конечной импульсной характеристикой) с симметричной импульсной характеристикой [17]. Анализ выражения (20) показывает, что форма импульсной характеристики для каждого  определяется  и пропорциональна ее автокорреляционной функции.

В соответствии с выражением (16) системной функцией дискретного фильтра является -преобразование импульсной характеристики  [3, 17]. Произведя -преобразование импульсной характеристики (20), получим выражение для системной функции дискретного фильтра :

 

 (21)

 

где индекс  показывает степень аппроксимирующего полинома.

Заменяя в (21)  на , получим выражение для частотного коэффициента передачи цифрового фильтра .

На рис. 9 представлены результаты расчета модуля частотного коэффициента передачи  дискретного фильтра (амплитудно-частотные характеристики – АЧХ), полученные выражением (21).

Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интервала разбиения  и различной фиксированной степени аппроксимирующего полинома  на каждом интервале

 

Так как частотная характеристика является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации, то используется нормировка для проведения сравнений характеристик различных фильтров. Ось частот рис. 9 нормирована относительно , и вся характеристика находится в интервале . А так как характеристика симметрична относительно , то на рис. 9 и далее рассматривается интервал  [3].

Анализ результатов, представленных на рис. 9, показывает, что АЧХ дискретного фильтра зависит от степени аппроксимирующего полинома . Максимальный уровень боковых лепестков составляет -24 дБ при , -17 дБ при  и -11 дБ при . Максимальный уровень боковых лепестков практически линейно увеличивается с ростом  [2]. Для сравнения АЧХ различных оконных функций вводят понятие эквивалентной шумовой полосы, которая определяется следующим образом [3]:

. (22)

 

Если исходная обрабатываемая последовательность представляет собой сумму гармонического сигнала с частотой, кратной частоте ДПФ и белого шума, тогда значение  показывает, во сколько раз уменьшается отношение сигнал-помеха после обработки входной последовательности оконной функцией. Таким образом, используя выражение (21) и (22), значение эквивалентной шумовой полосы составит при  – , при  –  и при  – . С ростом степени аппроксимирующего полинома  полоса пропускания дискретного фильтра увеличивается по линейному закону.

Расширение полосы пропускания при увеличении степени аппроксимирующего полинома связано с тем, что происходит выделение не только низкочастотной составляющей, но и учитываются колебательные процессы более высокой частоты. В случае выбора степени полинома, равной , будут учтены все составляющие спектра входного сигнала, и выходной сигнал полностью повторит входной.

На рис. 10 представлены графики расчета фазочастотной характеристики коэффициента передачи фильтра (ФЧХ)  (21).

Рис. 10. Фазочастотная характеристика дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интервала разбиения  и различной степени аппроксимирующего полинома  на каждом интервале

 

Анализ результатов, представленных на рис. 10, показывает, что фазочастотные характеристики имеют колебательный характер и асимптотически затухают. При этом колебания тем быстрее затухают, чем меньше степень . С уменьшением степени аппроксимирующего полинома и увеличением частоты амплитуда колебаний фазы уменьшается, приближаясь к нулю в полосе прозрачности фильтра.

На рис. 11 представлены АЧХ дискретного фильтра, для сравнения, при  и . Анализ рис. 11 показывает, что с увеличением значение параметра  в два раза привело к уменьшению абсолютной полосы пропускания фильтра во столько же раз. При этом эквивалентная шумовая полоса не изменится, так как является относительной к длине импульсной характеристики , длина которой определяется параметром  (22).

Рис. 11. Семейство амплитудно-частотных характеристик дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интервала разбиения ,  и различной степени аппроксимирующего полинома  на каждом интервале

 

Увеличение  в два раза несколько уменьшило максимальный уровень боковых лепестков, который составил -26 дБ при , -20 дБ при  и -16,6 дБ при . Также одним из показателей сравнения различных дискретных фильтров является ширина главного лепестка  АЧХ на уровне дБ и дБ, отнесенная к длине импульсной характеристики.

Для анализируемого фильтра ширина главного лепестка составила  и  при ;  и  при ;  и  при . Проводя сравнения с аналогичными характеристиками для различных оконных функций, приведенных в работах Рабинера и Гоулда, Гольденберга, Хариса [3, 17, 19], отметим следующее: характеристики анализируемого дискретного фильтра при  полностью совпадают с характеристиками оконной функции треугольной формы. Полученный результат закономерен, так как отклик дискретного фильтра  при  имеет такую же форму (рис. 8). С ростом степени аппроксимирующего полинома  происходит увеличение ширины главного лепестка АЧХ фильтра  по уровню 3 и 6 дБ, при этом также расширяется эквивалентная шумовая полоса . Ширина главного лепестка не зависит от параметра сглаживания , а определяет только длину импульсной характеристики фильтра и, как следствие, его разрешающую способность в частотной области [7, 16].

На рис. 12 представлен график ФЧХ для сравнения при  и  и различных степенях аппроксимирующего полинома .

 

Рис. 12. Семейство фазочастотных характеристик дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок при длине интервала разбиения ,  и различной фиксированной степени аппроксимирующего полинома  на каждом интервале

 

Анализ характеристики, представленных на рис. 12, позволяет сделать вывод, что форма ФЧХ не зависит от параметра . Таким образом, увеличение значения параметра  не привело к эквивалентному изменению формы характеристики, а только изменило масштаб зависимости [9].

При анализе дискретного фильтра, который описывается уравнением (10), рассматривается случай, когда функция единичного скачка (17) определена на интервале , хотя исходное уравнение определено на интервале . Это связано с тем, что способ оценивания на интервалах выборки ,  и  различен, но при этом на интервале  существует симметрия в подходе оценивания. В общем случае дискретный фильтр, описываемый уравнением (6), является нестационарным, а отклик системы на интервалах  и  зависит от положения единичного скачка  (17).

Используя выражение (9) и определение исходного сигнала (17), запишем отклик системы, описываемой выражением (10):

 

 (23)

 

Выражение (23) представляет собой отклик системы в случае, когда исходная последовательность ограничена интервалом  и обрабатывается с помощью предлагаемого метода кусочного размножения оценок с учетом особенностей на интервалах  и . При этом отметим, что выражение для отклика системы при  (23) полностью эквивалентно ранее полученному выражению для  (20) и не зависит от  (17).

На рис. 13 представлено семейство откликов дискретной системы, которая описывается выражением (23) для интервала  и . Отметим, что для  характер зависимости  эквивалентен. Анализ рис. 13 показывает, что с увеличением  отклик системы переходит от антисимметричной зависимости к симметричной зависимости, при этом большему изменению подвергается левая часть импульсной характеристики, чем правая относительно ее максимума. При  форма импульсной характеристики становится постоянной и не зависит от .

Рис. 13. Семейство импульсных характеристик дискретной системы, реализующей метод кусочного размножения при получении оценки полезного сигнала на начальном интервале значений  при параметре

 

На рис. 14 представлено семейство АЧХ, полученных на основе семейства характеристик, представленных на рис. 13 при .

 

Рис. 14. Семейство амплитудно-частотных характеристик дискретной системы, реализующей метод кусочного размножения при получении оценки полезного сигнала на начальном интервале значений  при параметре

На рис. 14 представлено семейство АЧХ  при различных значениях . Анализ результатов, приведенных на рис. 13 и 14, показывает, что оценка полезного сигнала на интервалах  и  является нелинейной и представляет собой прохождение исходной реализации через набор фильтров с различными АЧХ. Результаты, представленные на рис. 14 и 13, следует интерпретировать следующим образом. Каждый отсчет на интервале  и  получен в результате свертки исходной реализации с соответствующей импульсной характеристикой (рис. 13), то есть выбор импульсной характеристики на интервале  и  для вычисления оценки полезного сигнала определяет значение  (23). С точки зрения АЧХ, оценкам полезной составляющей, имеющим большую погрешность, соответствуют фильтры с большей полосой пропускания, то есть большее число спектральных составляющих как полезного сигнала, так и шума участвуют в ее получении. С ростом  полоса фильтров уменьшается и стремится к АЧХ для стационарного случая (21) при  (рис. 14). На основе полученных результатов устройство, реализующее метод кусочного размножения оценок, можно представить в виде банка фильтров с различными АЧХ. Если зафиксировать объем выборки, то для граничных интервалов оценивания  и  характеристики фильтров будут иметь вид, представленный на рис. 14.

Таким образом, аналитически показано, что обработку методом кусочного размножения оценок можно рассматривать с точки зрения дискретной фильтрации. Параметры метода обработки однозначно связаны с системной функцией фильтра. Получены выражения для нахождения импульсной характеристики дискретного фильтра, которая зависит как от параметра  и степени аппроксимирующего полинома на каждом интервале  (20). Исследования показывают, что с ростом  происходит расширение эквивалентной шумовой полосы  и эквивалентной ширины главного лепестка  АЧХ. Максимальный уровень ослабления помехи достигается при условии . Отметим, что этот параметр фильтра имеет смысл рассматривать с точки зрения максимизации отношения сигнал/помеха. Этот критерий не учитывает формы полезной составляющей, так как отдельные спектральные составляющие полезного сигнала могут находиться вне полосы пропускания фильтра, что приведет к искажению оценки и, как следствие, к росту погрешности. Увеличение степени аппроксимирующего полинома  на каждом скользящем интервале приводит к увеличению ширины полосы пропускания фильтра и максимального уровня боковых лепестков, однако при этом удается получить оценку с меньшей погрешностью. Существует некоторое противоречие, которое заключается в том, что, повышая гладкость получаемой оценки, приходится расширять полосу пропускания фильтра и ослаблять его фильтрующие свойства в силу роста максимального уровня боковых лепестков.

Использование разработанного дискретного фильтра позволяет существенно упростить реализацию метода обработки в виде устройства на базе цифровых сигнальных процессоров различного класса.

В ыводы

1. Разработан метод кусочного размножения оценки полезного сигнала (патент № 2257610), позволяющий обрабатывать исходную реализацию ограниченного объема в условиях априорной неопределенности о полезном сигнале и аддитивной шумовой составляющей.

2. Получены выражения, устанавливающие связь между значениями исходной реализации и значениями оценки полезного сигнала при произвольной степени аппроксимирующего полинома  и значении , используя систему ортогональных полиномов. Использование свойств ортогональных многочленов имеет широкие возможности для модификации предлагаемого метода обработки, адаптируя степень аппроксимирующей функции на каждом отдельном скользящем интервале.

3. Рассмотрена возможность уменьшения погрешности оценки полезного сигнала на начальном  и конечном  интервале исходной выборки путем модификации метода кусочного размножения, основанной на дополнительном разбиении исходной реализации на этих интервалах, позволяющая увеличить число оценок полезного сигнала в сечениях исходного процесса.

4. Получены выражения для импульсной характеристики и системной функции устройства, реализующего принцип обработки методом кусочного размножения оценок, которые зависят от параметров обработки. Рассмотрен как стационарный, так и нестационарный случай.

5. Исследования системной функции дискретного фильтра, реализующего метод кусочного размножения оценок, показали, что степень аппроксимирующего полинома на каждом интервале  и ширина интервала разбиения  однозначно определяют параметры амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики устройства. Максимальный уровень боковых лепестков амплитудно-частотной характеристики слабо зависит от  и в среднем составляет -25 дБ при , -18 дБ при  и -13 дБ при . Ширина главного лепестка не зависит от параметра  и составляет при  – , при  –  и при  – .

6. Проведены исследования особенности изменения характеристик дискретной системы при реализации обработки на начальном  и конечном  интервале исходной выборки сигнала.

 

Библиографический список

 

1. Адаптивные фильтры / под ред. К.Ф.Н. Коуэна и П.М. Гранта. – М. : Мир. – 200

2. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных ; пер. с англ./ Дж. Бендат, А. Пирсол. – М. : Мир, 2009. – 540 с.

3. Гольденберг, Л.М. Цифровая обработка сигналов : учеб. пособие для вузов/ Л.М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Радио и связь, 2010. – 256 с.

4. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы : учебник для вузов / И.С. Гоноровский. – М. : Радио и связь,2006. – 512 с.

5. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров ; пер. с англ. / Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 200 – 832 с.

6. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 543 с.

7. Марчук, В.И. Итерационный метод выделения функции полезного сигнала в условиях априорной неопределенности / В.И. Марчук // Известия вузов. Северо-Кавказкий регион. Технические науки. – 2007. –№ 9. – С. 25–35.