Глава 2 Методы решения задачи о рюкзаке

Классификация методов

На практике очень часто возникают NP-полные задачи, задач о рюкзаке – одна из них . Конечно надежд, на то что для них найдется полиномиальный алгоритм практически нет, но из этого не следует что с задачей нельзя ничего сделать. Во первых, очень часто удается построить полиномиальный алгоритм для NP – полной задачи, конечно он даст приближенное, а не точное решение, но зато будет работать за реальное время. Во вторых, данные могут быть таковы, что экспоненциальный алгоритм, например переборный сможет работать на них разумное время. К точным методам относятся: Полный перебор, метод ветвей и границ, ДП – программирование. К приближенным: Жадные алгоритмы. Полный перебор – перебор всех вариантов (всех состояний) –малоэффективный, но точный метод. Метод ветвей и границ – по сути сокращение полного перебора с отсечением заведомо “плохих” решений. ДП – алгоритм, основанный на принципе оптимальности Беллмана. Жадный алгоритм – основан на нахождении относительно хорошего и “дешевого” решения.

Динамическое программирование

 

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана:”Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбирать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на этом шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был оптимальным”. Проще говоря оптимальное решение на i шаге находится исходя из найденных ранее оптимальных решений на предшествующих шагах. Из этого следует, что для того чтобы найти оптимальное решение на последнем шаге надо сначала найти оптимальное решения для первого, затем для второго и так далее пока не пройдем все шаги до последнего.

Имеется набор из N предметов. Пусть MaxW - объем рюкзака, P_i – стоимость i-го предмета, W_i – вес i-го предмета. Value [W, i] – максимальная сумма, которую надо найти. Суть метода динамического программирования – на каждом шаге по весу 1<W_i<W находим максимальную загрузку Value[W_i, i], для веса W_i. Допустим мы уже нашли Value[1..W, 1..i-1], то есть для веса меньше либо равного W и с предметами, взятыми из 1..N-1. Рассмотрим предмет N, если его вес W_N меньше W проверим стоит ли его брать.

Если его взять то вес станет W-W_i , тогда Value[W, i] = Value[W – W_i , i-1] + P_i (для Value[W – W_i , i-1]) решение уже найдено остается только прибавить P_i.

Если его не брать то вес останется тем же и Value[W , i] = Value[W – Wi , i-1]. =Из двух вариантов выбирается тот, который дает наибольший результат. Рассмотрим алгоритм подробнее.

 

Рис 1.1

-

Рис 1.2

 

Рис 1.3

 

Динамическое программирование для задачи о рюкзаке дает точное решение, причем одновременно вычисляются решения для всех размеров рюкзака от 1 до MaxW, но какой ценой? Для хранения таблицы стоимости и запоминания того, брался каждый предмет или нет, требуется порядка O(N*MaxW) памяти, временная сложность равна O(N*MaxW) ;

Опишем основную логику решения: {Загружаем рюкзак если его вместимость = Weight} for Weight:=1 to MaxW do begin

for i:=1 to N do {берем предметы с 1 по N}

{если вес предмета больше Weight}

{или предыдущий набор лучше выбираемого}

if (W[i]>Weight) or (Value[Weight, i-1] >=

Value[Weight-W[i], i-1]+P[i]) then begin

{Тогда берем предыдущий набор}

Value[Weight, i]:=Value[Weight, i-1];

{говорим что вещь i не взята}

Take [Weight, i]:= false;

End

{иначе добавляем к предыдущему набору текущий

предмет}

Else begin

Value [Weight, i]:=Value [Weight - W[i], i-1]

+P[i];

{говорим что вещь i взята}

Take [Weight, i]:= true;

End;

End ;

Как было сказано ранее, алгоритм динамического программирования для ‘рюкзака’ дает точное решение путем использования дополнительной памяти O(N*MaxW), временная сложность алгоритма так же будет порядка O(N*MaxW).

Полный перебор

 

Название метода говорит само за себя. Чтобы получить решение нужно перебрать все возможные варианты загрузки. Здесь мы будем рассматривать такую постановку задачи. В рюкзак загружаются предметы N различных типов (количество предметов каждого типа не ограничено), каждый предмет типа I имеет вес W_i и стоимость P_i , i=(1,2..N). Требуется определить максимальную стоимость груза вес, которого не превышает W. Очевидна простая рекурсивная реализация данного подхода Рис 1.4. Временная сложность данного алгоритма равна O(N!). Алгоритм имеет сложность факториал и может работать лишь с небольшими значениями N. С ростом N, число вариантов очень быстро растет, и задача становится практически неразрешимой методом полного перебора. На рис 1.5 показано дерево перебора, дерево имеет 4 уровня. В каждом кружочке показан вес предмета, корень дерева – нулевой вес, то есть когда рюкзак пуст. Первый предмет можно выбрать четырьмя способами, второй – тремя, третий – двумя, а дальше можем взять только один оставшийся предмет.

Рис 1.4

 

Рис 1.5

 

N - Количество предметов. Пусть MaxW - объем рюкзака, P_i – стоимость i-го предмета, W_i – вес i-го предмета.

{передаем Nab - номер набранной группы, OstW-вместимость, stoim-цена набранного (еще не набрали нисколько)}

Procedure Search(Nab, OstW, Stoim:integer);

var i:integer;

Begin

{здесь OstW-вес который следует набрать из оставшихся. Stoim-стоимость текущего решения}

{Nab - набор предметов если наполнили рюкзаки набрали стоимость больше чем имеется, то считаем это новым решением}

if (Nab > N) and (Stoim > Max) then begin

{найдено решение}

BestP:=NowP;

Max:=Stoim;

End

{иначе если количество взятых <= обьема.

забиваем рюкзак дальше}

else if Nab<=N then

{иначе если набрано меньше чем влазит}

for i:=0 to OstW div W[Nab] do begin

{идем от 0 до ост. места}

NowP[Nab]:=i;

{берем предмет Nab пока есть место в ранце}

Search(Nab+1,OstW-i*W[Nab],Stoim+i*P[Nab]);

{после каждого взятия предмета увеличиваем

стоимость набора и уменьшаем место в рюкзаке

на вес предмета, так же увеличиваем количество

раз взятия предмета}

end;

Метод ветвей и границ

 

По существу данный метод - это вариация полного перебора, с исключениями заведомо не оптимальных решений. Для полного перебора можно построить дерево решений. Если у нас есть какое то оптимальное решение P, мы пытаемся улучшить его, но если на рассматриваемой в текущий момент ветви решение заведомо хуже чем P то следует остановить поиск и выбрать другую ветвь для рассмотрения. Например, на рис 1.5. есть ограничение на вес рюкзака W=5. Тогда используя метод ветвей и границ можно сократить дерево перебора до такого, рис 1.6. Видно сразу, что количество вариантов для перебора уменьшилось сразу. А именно осталось 8 вариантов исхода, вместо 24 ранее. Но не всегда получается отсеять достаточно много вариантов чтобы скорость работы была заметно увеличена, всегда можно подобрать такие входные данные, для которых метод ветвей и границ даст оценку по времени идентичную полному перебору.

Рис 1.6

 

Жадный алгоритм

 

В случае применения жадного алгоритма поступаем так: сортируем предметы по убыванию стоимости единицы каждого.  , где Pi - относительная стоимость единицы предмета i, W_i - вес предмета i, V_i - стоимость предмета i. Всего N предметов. Пытаемся поместить в рюкзак все что помещается, и одновременно наиболее дорогое по параметру P. Оценим сложность метода. Для сортировки нам потребуется  плюс проход по N предметам в цикле. Итого  что в общем случае равно  . Скорость работы относительно других алгоритмов высока, но если посмотреть более внимательно, видно, что точное решение мы получим не всегда. Обратим внимание на следующую таблицу Таб1.1.

 

Номер предмета (i)	Вес предмета (кг)	Цена (У.е)	Относительная цена (У.е/кг)
1	10	60	6
2	20	100	5
3	30	120	4

Как видно предметы уже отсортированы. Пусть в рюкзак помещается 50кг, следуя алгоритму, берем первый предмет, затем второй, третий предмет уже не помещается. Таким образом, в рюкзаке у нас 30кг стоимостью 160у.е, оставшееся место 20кг. Но если бы мы взяли второй и третий предметы, общий вес поместился в рюкзак, и стоимость его была бы 220у.е. Жадный алгоритм не дает оптимального решения, поэтому он является приближенным алгоритмом.[7] Оказывается качество решения можно улучшить, если сравнить полученный результат с максимальным коэффициентом V_max ; . Предполагается, что все предметы не превосходят размера рюкзака, в противном случае их можно просто исключить из рассмотрения.[3]

Рассмотрим непрерывную задачу о ранце, условия для нее те же самые, отличие лишь в том, что мы можем взять часть предмета. То есть предметы можно делить. Пусть у нас есть тот же набор что и в таб. 1.1, тогда следуя жадному алгоритму, берем первый и второй предметы, полностью третий предмет не помещается т.к места осталось всего на 20кг, но мы можем брать части предметов, тогда возьмем  веса третьего предмета, соответственно и его стоимости, таким образом мы нагрузили рюкзак полностью, стоимость груза стала равна 240у.е. Для непрерывной задачи о рюкзаке жадный алгоритм будет давать оптимальное решение.[7]

{обнуляем список взятых предметов} fillchar(Take, sizeof(Take), False);

i:= 0; {пока текущий вес набора + следующий предмет, который будет взят меньше предела вместимости}

While NowWeight+W[i+1] < MaxWeight do begin

inc(i);

{увеличиваем сумму цен на цену текущего предмета}

BestPrice:= BestPrice + P[i];

{увеличиваем сумму весов на вес тек. предмета}

NowWeight:= NowWeight + W[i];

{записываем что взяли этот предмет}

Take[i]:= true;

end;