Метод группового учета аргументов

 

Метод группового учета аргументов (МГУА).использует идеи самоорганизации и механизмы живой природы – скрещивание (гибридизацию) и селекцию (отбор).

 

Рисунок 4.3

 

По результатам наблюдений надо определить F(x). Причем даже структура модели F(x) неизвестна.

Пусть имеется выборка из N наблюдений:

 

.

 

Наиболее полная зависимость между входами X(i) и выходами Y(i) может быть представлена с помощью обобщенного полинома Колмогорова-Габора.

Пусть есть , тогда такой полином имеет вид:

 (4.8)

 

где все коэффициенты а не известны.

При построении модели (при определении значений коэффициентов) в качестве критерия используется критерий регулярности (точности):

 

       (4.9)

 

Необходимо, чтобы .

Принцип множественности моделей: существует множество моделей на данной выборке, обеспечивающих нулевую ошибку (достаточно повышать степень полинома модели). Т.е. если имеется N узлов интерполяции, то можно построить целое семейство моделей, каждая из которых при прохождении через экспериментальные точки будет давать нулевую ошибку:

 

                             (4.10)

 

Обычно степень нелинейности берут не выше n-1, если n – количество точек выборки.

Обозначим S – сложность модели (определяется числом членов полинома Колмогорова-Габора).

Значение ошибки зависит от сложности модели. Причем по мере роста сложности сначала она будет падать, а затем расти. Нам же нужно выбрать такую оптимальную сложность, при которой ошибка будет минимальна. Кроме того, если учитывать действие помех, то можно выделить следующие моменты:

При различном уровне помех зависимость от сложности S будет изменяться, сохраняя при этом общую направленность (имеется ввиду, что с ростом сложности она сначала будет уменьшаться, а затем – возрастать).

При увеличении уровня помех величина будет расти.

С ростом уровня помех, будет уменьшаться (оптимальное значение сложности будет смещаться влево) см. рис 4.2 Причем , если уровень помех ненулевой.

 

Рисунок 4.4

 

Теорема неполноты Гёделя: В любой формальной логической системе имеется ряд утверждений и теорем, которые нельзя ни опровергнуть, ни доказать, оставаясь в рамках этой системы аксиом.

В данном случае эта теорема означает, что выборка всегда неполна.

Один из способов преодоления этой неполноты – принцип внешнего дополнения. В качестве внешнего дополнения используется дополнительная выборка (проверочная), точки которой не использовались при обучении системы (т.е. при поиске оценочных значений коэффициентов полинома Колмогорова-Габора).

Поиск наилучшей модели осуществляется таким образом:

1) вся выборка делится на обучающую и проверочную:

2) на обучающей выборке определяются значения . На проверочной выборке  отбираются лучшие модели.

3) входной вектор имеет размерность N .

Принцип свободы выбора (неокончательности промежуточного решения):

Для каждой пары строятся частичные описания (всего ) или линейного (4.11) или квадратичного (4.12) вида:

 

, , (4.11)

, . (4.12)

 

Определяем коэффициенты этих моделей по МНК, используя обучающую выборку. Т.е. находим .

Далее на проверочной выборке для каждой из этих моделей ищем оценку по формуле (4.13) и определяем F лучших моделей.

 

, (4.13)

 

где – действительное значение выходное значение в k-той точке проверочной выборки;

а – выходное значение в k-той точке проверочной выборки в соответствии с s-той моделью.

 

Рисунок 4.5

 

Выбранные подаются на второй ряд, где по формуле (4.14) ищем .

 

               (4.14)

 

Оценка здесь такая же, как на первом ряде. Отбор лучших осуществляется опять так же, но .

Процесс конструирования рядов повторяется до тех, пока средний квадрат ошибки будет падать. Когда на слое m получим увеличение ошибки , то прекращаем.

Если частичные описания квадратичные и число рядов полинома S, то получаем, что степень полинома k=2S.

В отличие от обычных методов статистического анализа, при таком подходе можно получить достаточно сложную зависимость, даже имея короткую выборку.

Есть проблема: на первом ряде могут отсеяться некоторые переменные , которые оказывают влияние на выходные данные.

В связи с этим предложена такая модификация: на втором слое подавать  и , т.е.: .

Это важно при большем уровне помех, чтобы обеспечить несмещенность.

Возникает два способа отбора лучших кандидатов частичных описаний передаваемых на определенном слое.

Критерий регулярности (точности) :

 

,      (4.15)

   (4.16)

 

Критерий несмещенности. Берем всю выборку, делим на две части R= +

Первый эксперимент: - обучающая выборка, - проверочная; определяем выходы модели , i=1..R. Второй эксперимент: - обучающая выборка, - проверочная; определяем выходы модели , i=1..R и сравниваем. Критерий несмещенности:

 

      (4.17)

 

Чем меньше , тем более несмещенной является модель.

Такой критерий определяется для каждого частичного описания первого уровня и затем находится для уровня в целом

(4.18)

 

для F лучших моделей. В ряде вариантов F=1. Такое же самое на втором слое .

И процесс селекции осуществляется до тех пор, пока этот критерий не перестанет уменьшаться, т.е. до достижения условия

 

.                     (4.19)