Линейные конечно-разностные уравнения и их применение в экономике

 

Динамика объектов различной природы часто описывается уравнениями вида

x_t = F(x_t-1, x_t-2, ... , x_t-n),(7)

 

связывающими состояние объекта x_t в любой момент времени t с состояниями в предшествующие моменты времени. Решение уравнения (7) n-го порядка определено однозначно, если заданы n так называемых начальных условий. Обычно в качестве начальных условий рассматриваются значения x_t при t = 0, 1,..., n - 1.

Подставляя начальные значения x_n-1, ... , x₁, x₀ и t = n в качестве аргументов функции в правой части (7), находим x_n; используя найденное значение и подставляя теперь x_n, x_n-1, ... , x₂ x₁ и t = n + 1 в качестве аргументов функции, находим x_n+1, и т.д. Процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут исчерпаны все представляющие интерес значения t.

В модели экономических циклов Самуэльсона-Хикса используются конечно-разностные уравнения вида x_t = a₁x_t-1 + a₂x_t-2 + f(t) - линейные конечно-разностные уравнения второго порядка, являющиеся частным видом уравнения (7). Они называются однородными, еслиf(t) = 0 при любых t, неоднородными - в противном случае. И для нахождения, и для исследования свойств решения однородного уравнения

x_t = a₁x_t-1 + a₂x_{t-2 ,}(8)

 

используется так называемое характеристическое уравнение

 

- a₁ - a_{2 ,}(9)

 

Обозначим его корни ₁, ₂ и запишем

 

В теории конечно-разностных уравнений[4] доказывается, что при _{1 2} решение уравнения (8) описывается равенством

 

, (10)

 

где A₁ и A₂ - постоянные, определяемые начальными условиями.

Если же ₁ = ₂ = , то решение имеет вид

 

, (11)

 

Решение уравнения (8) зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения (9).

Рассмотрим возникающие при этом случаи.1. D > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня. Решение описывается равенством (10); если оба корня положительны, то обе компоненты решения - монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочередующаяся составляющая решения (10).2. D = 0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (11).

3. D < 0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней: _1,2 =  i .

Равенство (10) при этом справедливо, но неудобно для использования, так как вещественный процесс при этом описывается как сумма комплексных составляющих. Более удобную форму решения можно получить, используя тригонометрическое представление корней: _1,2 = g(cos  sin ), где Такое представление позволяет описать решение уравнения (8) равенством

, (12)

 

где B₁ и B₂ - постоянные, определяемые начальными условиями.

Таким образом, при D < 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает (при g > 1) или убывает (при g < 1);

Решение уравнения (8) называют равновесным, если значение x_t не изменяется во времени. Подстановкой в уравнение (8) можно убедиться, что x_t = 0 есть равновесное решение. Равновесное решение называется устойчивым, если x_t  0 при t ; в противном случае оно называется неустойчивым. Равенства (10) и (11) показывают, что решение будет устойчивым в том и только в том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше единицы. В случае D < 0 условию устойчивости соответствует g < 1, так как при этом необходимым и достаточным условием устойчивости является a₂ > -1. По теореме Виета _{1 2} = -a₂, так что условие a₂ > -1 необходимо и в случае D > 0, но здесь оно не является достаточным. Система неравенств

 

 

дает необходимое и достаточное условие устойчивости для данного случая. Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство

Систему можно заменить одним неравенством

 

 

Объединяя все полученные результаты, условие устойчивости можно представить в виде двойного неравенства

,(13)

 

Уравнение модели экономических циклов Самуэльсона-Хикса имеет вид уравнения (8), при этом

Заметим, что C_y  0 и  0 в силу экономического содержания этих параметров. Согласно теореме Виета,

 

 ,(14)

 

Условие D = 0, разделяющее колебательные и неколебательные решения, теперь имеет вид

 

 

При характеристическое уравнение имеет вещественные корни. Из неотрицательности параметров C_y и  и равенств (14) следует, что оба корня неотрицательны и обе компоненты решения (10) изменяются монотонно. При решение носит колебательный характер.

Условие устойчивости (13) теперь принимает вид

 

 

т.е. представляет собой систему неравенств

 

 

На рис. 4. устойчивому движению соответствуют области I (монотонное движение) и II (колебательное движение). Неустойчивому движению соответствуют области III (колебательное движение) и IV (монотонное). Области V соответствуют синусоидальные колебания с постоянной амплитудой.

 

[5]

Рис. 4. Стилизованные фазы экономического цикла

 

Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений, они используются в тех случаях, когда запаздывание оказывает существенное влияние на рассматриваемые процессы. В социально – экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем. Наиболее широкое распространение разностные уравнения в экономической теории

Применение разностных уравнений в экономике представлено в моделях:

1. Модель рынка с запаздыванием сбыта.

2. Рыночная модель с запасами.

3. Динамическая модель Леонтьева.

4. Модель экономического цикла Самуэльсона – Хикса.

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА-ХИКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

 

2.1 Модель Самуэльсона-Хикса

 

Модель Самуэльсона-Хикса включает в себя только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными; объем предложения благ совершенно эластичен.

Объем потребления домашних хозяйств в текущем периоде зависит от величины их дохода в предшествующем периоде

C_t = C_a,t + C_yy_t-1,

 

где C_a - автономное потребление.

 

Предприниматели осуществляют автономные инвестиции, объем которых при заданной ставке процента фиксирован, и индуцированные инвестиции, зависящие от прироста совокупного спроса в предшествующем периоде

I_t = I_a,t + (y_t-1 - y_t-2).

 

На рынке благ установится динамическое равновесие, если

 

,(15)

 

где A_t = С _a,t + I_a,t.

Уравнение (15) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.

Уравнение (9.1) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.

При фиксированной величине автономных расходов (A_t = A = const) в экономике достигается динамическое равновесие, когда объем национального дохода стабилизируется на определенном уровне , т.е.y_t = y_t-1 = y_t-2 = ... = y_t-n = , где n - число периодов с неизменной величиной автономных расходов.

Из уравнения (15) следует, что  = A/(1 - C_y).

Посмотрим, какова будет динамика национального дохода, если в состоянии динамического равновесия изменится величина автономного спроса.

Освободимся от неоднородности в уравнении (15). Значения y_t и удовлетворяют равенству (15), поэтому можно записать следующее однородное конечно-разностное уравнение второй степени с постоянными коэффициентами:

 

, (16)

 

где y_t  y_t - .

 

Так как y_t =  + y_t, то направление изменения y_t определяется направлением изменения y_t.

Из теории решения дифференциальных и конечно-разностных уравнений следует, что характер изменения y_t зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения. Поскольку в данном случае дискриминант равен (C_y + )² - 4 , то динамика национального дохода зависит от предельной склонности к потреблению, определяющей величины мультипликатора и акселератора.

Если (C_y + )² - 4 > 0, то изменение y_t происходит монотонно; при (C_y + )² - 4 < 0 оно будет колебательным. Следовательно, график функции , изображенный на рис. 5, отделяет множество сочетаний C_y, , обеспечивающих монотонное изменение y_t, от множества комбинаций из значений C_y, , приводящих к колебаниям y_t.

Устремляется ли значение y_t к некоторой конечной величине или уходит в бесконечность, зависит от значения последнего слагаемого характеристического уравнения. Если  < 1, то равновесие установится на определенном уровне. При  > 1 нарушенное 1 раз равновесие больше не восстановится. Когда  = 1 , тогда значение y_t будет колебаться с постоянной амплитудой.

 

[6]

Рис. 5. Четыре областисочетаний C_y,

 

В результате все множество сочетаний C_y и оказалось разделенным на пять областей, как это показано на рис. 5. Если значения C_y и  указывают на область I, то после нарушения равновесия в результате изменения автономного спроса значение y_t монотонно устремится к новому равновесному уровню При значениях C_y и , находящихся в области II, национальный доход достигнет нового равновесного уровня, пройдя через затухающие колебания. Сочетания значений C_y и , расположенные справа от перпендикуляра, опущенного из точки B на ось абсцисс, соответствуют нестабильному равновесию. Когда сочетания значений C_y, указывают на область III, тогда динамика y_t приобретает характер взрывных колебаний. Комбинации значений C_y,  в области IV приводят к тому, что после нарушения равновесия y_t монотонно устремляется в бесконечность. И наконец, если акселератор равен единице, то при любом значении предельной склонности к потреблению в случае нарушения равновесия возникают равномерные незатухающие колебания y_t.

 

2.2 Практическое применение модели Самуэльсона-Хикса

Пример

Заданы функция потребления домашних хозяйств: C_t = 50 + 0,8y_t-1 и функция спроса предпринимателей на автономные и индуцированные инвестиции: I_t = 250 + (y_t-1 - y_t-2). В течение некоторого времени до периода t₀ включительно экономика находится в динамическом равновесии при спросе предпринимателей на автономные инвестиции в объеме 250 ден. ед. Это значит, что в каждом периоде производилось 1500 ед. благ, из которых 50 + 0,8·1500 = 1250 потребляют домашние хозяйства. С периода t₁ предприниматели решили, что объем автономных инвестиций должен равняться 350 ден. ед. Как в результате реализации этого решения будет меняться величина совокупного спроса (следовательно, и национального дохода) при четырех различных сочетаниях C_y, , представленных на рис. 9.4 точками a (C_y = 0,8;  = 0,25), b (C_y = 0,8;  = 0,75), c (C_y = 0,8;  = 1,2) и d (C_y = 0,8;  = 2,3), показано в табл. 9.1-9.4.

Рис. 6. Динамика национального дохода после изменения автономного спроса при различных сочетаниях C_y,

Таблица 2.1Динамика национального дохода при C_y = 0,8;  = 0,25

t	C	Ia	Iin	y
0	1250	250	0	1500
1	1250	350	0	1600
2	1330	350	25	1705
3	1414	350	26,25	1790,3
4	1482,2	350	21,31	1853,5
5	1532,8	350	15,82	1898,6
6	1568,9	350	11,28	1930,2
7	1594,1	350	7,89	1952,0
8	1611,6	350	5,46	1967,1
9	1623,7	350	3,76	1977,4
10	1631,9	350	2,59	1984,5
11	1637,6	350	1,77	1989,4
12	1641,5	350	1,22	1992,7
13	1644,2	350	0,83	1995,0
14	1646,0	350	0,57	1996,6
15	1647,3	350	0,39	1997,7
16	1648,1	350	0,27	1998,4
17	1648,7	350	0,18	1998,9
18	1649,1	350	0,13	1999,2
19	1649,4	350	0,09	1999,5
20	1649,6	350	0,06	1999,6
...	...	...	...	...

Таблица 2.2Динамика национального дохода при C_y = 0,8;  = 0,75

t	C	Ia	Iin	y
0	1250	250	0	1500
1	1250	350	0	1600
2	1330	350	75	1755
3	1454	350	116,3	1920,3
4	1586,2	350	123,9	2060,1
5	1698,1	350	104,9	2153,0
6	1772,4	350	69,7	2192,1
7	1803,7	350	29,3	2183,0
8	1796,4	350	-6,8	2139,5
9	1761,6	350	-32,6	2079,0
10	1713,2	350	-45,4	2017,9
11	1664,3	350	-45,9	1968,4
12	1624,7	350	-37,1	1937,6
13	1600,1	350	-23,1	1927,0
14	1591,6	350	-8,0	1933,7
15	1596,9	350	5,0	1951,9
16	1611,5	350	13,7	1975,2
17	1630,2	350	17,5	1997,6
18	1648,1	350	16,8	2014,9
19	1662,0	350	13,0	2024,9
20	1669,9	350	7,5	2027,4
21	1671,9	350	1,9	2023,8
22	1669,1	350	-2,7	2016,3
23	1663,1	350	-5,6	2007,5
24	1656,0	350	-6,7	1999,3
25	1649,5	350	-6,1	1993,4
26	1644,7	350	-4,5	1990,2
27	1642,2	350	-2,4	1989,8
28	1641,8	350	-0,3	1991,5
29	1643,2	350	1,3	1994,5
30	1645,6	350	2,2	1997,9
...	...	...	...	...

Таблица 2.3Динамика национального дохода при C_y = 0,8;  = 1,2

t	C	Ia	Iin	y
0	1250	250	0	1500
1	1250	350	0	1600
2	1330	350	120	1800
3	1490	350	240	2080
4	1714	350	336	2400
5	1970	350	384	2704
6	2213,2	350	364,8	2928
7	2392,4	350	268,8	3011,2
8	2459,0	350	99,8	2908,8
9	2377,0	350	-122,9	2604,2
10	2133,3	350	-365,6	2117,8
11	1744,2	350	-583,7	1510,5
12	1258,4	350	-728,7	879,7
13	753,8	350	-756,9	346,9
14	327,5	350	-639,5	38,0
15	80,4	350	-370,6	59,89
16	97,8	350	26,1	474,0
17	429,2	350	497,0	1276,2
18	1071,0	350	962,7	2383,6
19	1956,9	350	1328,9	3635,8
20	2958,7	350	1502,6	4811,3
21	3899,0	350	1410,5	5659,6
22	4577,7	350	1017,9	5945,6
23	4806,5	350	343,2	5499,7
24	4449,8	350	-535,1	4264,7
25	3461,8	350	-1482,0	2329,8
...	...	...	...

 

Таблица 2.4Динамика национального дохода при C_y = 0,8;  = 2,3

t	C	Ia	Iin	y
0	1250	250	0	1500
1	1250	350	0	1600
2	1330	350	230	1910
3	1578	350	713	2641
4	2162,8	350	1681,3	4194,1
5	3405,3	350	3572,1	7327,4
...	...	...	...	...

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Рассмотренная модель Самуэльсона-Хикса дает возможность сделать выводы о причинах и факторах возникновения эндогенных (самогенерирующихся) циклических колебаний в экономической системе. Несмотря на абстрактный характер допущений, принимаемых в моделях колебательных процессов, нельзя не отметить строгость и прозрачность выводов, получаемых на основе анализа. В теоретических исследованиях экономической динамики, которые могут быть отнесены к традиционным направлениям экономической науки, наибольшее внимание уделяется инвестиционному поведению. Последнее представляется в виде определенной зависимости между размерами инвестиций и характеристиками состояния экономической системы - прибылью, доходом, занятостью, ставкой процента и т.д.

Однако реальные колебательные процессы с большой условностью можно считать циклическими, имея в виду лишь последовательное чередование стадий цикла, а не строгую периодичность этих стадий. Чтобы дать более реалистическое описание таких процессов, необходимо создать модели, позволяющие выявить иррегулярную, хаотическую динамику экономических переменных. В последнее время появились работы, в которых делаются попытки построения плотность детерминированных динамических моделей с хаотическим поведением траекторий. Последовательные теоретические построения в данной области должны включать прежде всего объяснение внутренних экономических механизмов развития, выявление движущих сил, поведенческих мотивов и средств реализации изменений в экономических системах.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

Учебники и учебные пособия

1. Красс М.С. Математика для экономических специальностей./Учебник. М.:ИНФРА-М, 1998.

2. Гальперин В.М. Макроэкономика. СПб.: Экономическая школа, 1997.

3. Станковская И.К., И.А. Стрелец. Экономическая теория: учебник –3-е изд., испр. – М.:Эксмо, 2007. –448 с.

4. Боярский А.Я. Математика для экономистов. М.: Госстатиздат, 1961.

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришнин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов./ Учебное пособие для вузов./ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. 439 с.

6. Крушевский А.В. Справочник по экономико-математическим моделям и методам. Киев: Техника, 1982.

Источники из Интернета

1. http://www.spbki.ru/rus/parts/microeconomics

2. job.finec.ru/rus/parts/macroeconomics/chap9/9_1/9_1.html

[1] Гальперин В.М. Макроэкономика. СПб.: Экономическая школа, 1997.

[2] Гальперин В.М. Макроэкономика. СПб.: Экономическая школа, 1997.

[3] Красс М.С. Математика для экономических специальностей./Учебник. М.:ИНФРА-М, 1998.

[4] http://www.spbki.ru/rus/parts/macroeconomics/chap9/gl9.html

[5] job.finec.ru/rus/parts/macroeconomics/chap9/9_1/9_1.html

[6] http://www.spbki.ru/rus/parts/macroeconomics/chap9/9_2/9_2_1.html